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Proposed in 1931, the Zermelo's navigation problem is a classic optimal control problem. The problems deals with a boat navigating on a body of water, originating from a point O to a destination point D. The boat is capable of a certain maximum speed, and we want to derive the best possible control to reach D in the least possible time.

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:　:　:　:　:　:　:　:　:　:　　　　| /|　 ﾊ　 | /::|　 　:　:　:　:　:　:　:　:
　　　　　　　　　　　　　　　 ﾚ' 7V::::ヽ/::::::::|　　　　､ヽ川 l | 川 l |
　　　　　　　　　　　　　　　　 くｧ-r─r--､」　　　　ミ
　　　　　　　　　　　　　　　 ／　 /　　i　　',　　　　三　　戻　早
　　　　　　　　　　　 　　 ／　　/　　　l　　 i　　　 .Ξ　　 っ　く
　　　　　　　　　　　　　 ヽ､ｒ-'､.,______」____,.」　　　 三　　て　地
　　　　　　　　　　　　　　　/ 　./｀￣|　　|　　　 　 Ξ　　こ　球
　　　　　　　　　　　　　　 /　 /　 　 |　　|　　　　　三.　 い　に
　　　　　　　　　　　 　　 ,'　 /　　　 |　　|　　　　　Ξ　　! !
　　　　　　　　　　　　　/､__/　　　　|___,.|　　　　　 彡
　　　　　　　　　　　　,ｲ'ｰ‐'!　　　　iｰ-‐i　　　　　　ﾝ川 l | 川 l |
　　　　　　　　　　　 l::::::::/i　　　　 |:::::::::i〉
---─ｧ=ﾆﾆ二"´￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣｀`二ﾆﾆ=ｧ‐---

(κ·μ)^ν = κ^ν·μ^ν.

One such fractal curve with an infinite perimeter and finite surface area is the Koch snowflake.

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　､ l l|| ll | || l ll| l| | ||
　　　　　　 |　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ミ
　　　　　　/ ー　　　 ﾉ!　　　＿＿　　　　　　　　　　　　 三　　考　　エ　　も
　　 　 ト-'　　　　 ／ └''"´　　 　 ｀l⌒)、　、　　　　　　.ﾆ 　　え　　 ッ 　 し
　＿_ノ　　 　 , 　´ ,. 　- ''"´￣￣｀ .|＿__）　 ＼　　　 　 Ξ. 　 て　　チ 　 か
　＼　　　 ＜ 　 ／　 　/ 　　　　　 |　　　｀ヽ.　ﾊ　　　　 三　　る　　な.　　し
　　 ）　　　 /　/ 　 　　|.　 　　 ',　 ﾊ 　　ﾊ　 ＼ |　　　　 ﾆ 　　!? 　 事　　て
　　　　　 ／　 |　 /　 /＼　　 　| /ー-＜/　　　ﾒ、　　　 三 　　　　 を
　　　　∠、 .　　　!　-＞-'＼.　/´ i⌒ヽ　|　 ／　 !＼　　 ﾆ 　　　　　
　　　　　　',. ヽ. 　| 7´ l⌒ヽ ∨ 　弋_り　ﾊ/　　　.| 　 ヽ.　彡,
　　　　　　 |.　 ',　ﾚ|　弋_り 　.　　　　‐ ﾟ∠ o　　,ﾊ　　　',　ノl l|| ll | || l ll| l| | ||
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　　 ぁ 　　八　○　|//　　　|/　　　 ） 　/　| ﾄ､'　 /　　　.|
　　　ら　〈ｒ'´＼　ﾟ/｀）　 　　｀　　 　　／　/ //〉　|　　　/
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　　　 だ　　 ／.　 ＼ 　 ＼/ ./___／|　　_／ ￣＼ﾉ　　|
　　　　　 　/ 　 ＼/||　　ノ;ﾊ|／＼八／　ヽ　　 /ﾄ、　 |
　　　　　　 !　　　,'　|| ／:::::| |'⌒⌒)/＼　　 〉 '´　!ﾊ　/
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　　　　　　 ',　　/|　 ',',::::::::://　/　　!　 / 　　　　 | ./　　 ./o::::::::oヽ　o
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　　 　 　 　 　〈　　　　　　 /　|　　　　八　　　　　　〉　　　｀|:::::::::::::::＼

　　　　　　　　　　　　　　　　／　ﾚ'7　 　　　　ノ）‐ ''" 　/
　　　　　　　　　　　　　　ﾄ､/ 　　　|　　,.　''"´　　　　 　 }/|
　　　　　　　　　　　　　　| '　 　 　 ﾊ∠、　　　　　　　　' ./
　　　　　　　　　　　　　 _.ゝ_..　-‐──-　、　　　　 　 ／
　　　　　　　 　 （ゝ-‐'´　'´　　　 　　　　　 　｀' ＜　イ -‐ｧ
　　　　　　　　 　 ＞'"　/　　　　　　　　　　 ヽ、　＼.　／
　　　　　　　　.／　　 　{　　　　　　　｀ヽ　　 　 ' 　　∨
　　　　　　 　/　 /　　.∧ 　 　 ﾄ､_」ニ､|　 ,ﾊ　,」二ヽ|　　Zun♪
　　　　　　　 | l　{.　　 !‐ｧ ､ 　 |'´ ん' ﾊ∨　 //:::（ヽヽ
　　　　　　　 |八 ＼　 |「lヽ ｀ヽ}　 j＿zｿﾘ ﾊ |::7｀!::} .| |　　Zun♪
　　　　　　　　　 ＼ ﾚﾊ{ り　　　　 　 "7 /　 |::|　|/ / .!
　　　　　♪ ～　｛7　l7"　 '　　 　　 　 ﾚﾍ 　 ｿ　'　'　∧
　　　　 　　 　 　 ,|　八　　　lｒ￣ヽ 　　　ﾘ　ｲ 　 　　/　＼
　　　　　　　　　 /ﾚ'} 　＼　　、　ﾉ　 　 / イ| _＿__,ム　 ,　）
　　　　　　　　　;　 /　_ノﾉヽ、＿　　　イ　/「ｒ）　(r]　）／ﾚ'
　　　　　　　　　|　ﾚ'´ ∨｀ヽ,人|　 　　 ﾄ､{ |_」＿_l」ソ
　　　　　　　　　「｀Tこ]　＿＿,ｒ'‐ｧ'"´/:::::}/　　　 ﾄ､ヽ
　　　　　　　　　L）_ｒ_l」´ |＼::/ムｲ／:::::;:/　　 　 ; }::/
　　　　　　 　 　;　　　 ! ./ 　/::::|::::|::::／/　　　　,' /´
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　　　　　　　 ./　 　 　l{ くｒ-､＿」-‐' /　　　　.//
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　　　　／　/ 　＜!|. 人 弋り　　　　{ﾘ 八ｲ
　　　 ;'　, ｲ 　/　ﾟ o ○///　　　 , 　//|Ｏ> 。
　　　 ﾚ'|　/､ .| 　|人 ハ、 　　__ 　　　人　ﾊ
　　 　　∨　ヽ|/´: : :.＼|ヽぅｧｰ-ｒｧｆl´、|/∨ﾉ
　　　　　　 　,': : : : : : : :| :|Xトム|X|/ ﾊ
　　　　 　 　 |: : : : : : : :|! :∨/　ﾊX! : : |
　　　　　 　く!＼＿＿;.ｲ} : '/　/　', ﾄ､__|
　　　　　　/ :ゝ,X X X 」 :く＿ｒ-|_ﾑ|XX}
　　　　　.ｒﾍ: : : |￣￣「 : /ﾒ;'::/;:ｲ´￣「
　　 　.／ヽ..ヽ: :}　　　{.:/ﾒ/::/;'　|　 　{
　　 ,.:':::::::::::::＼ｒ'＝=='トﾆ三ﾆﾊ.r'==='}
　 ｒﾍ::::::::::::::::::::{ 　　　 }／人ヽﾑ{　　　}

A set is pure if all of its members are sets, all members of its members are sets, and so on. For example, the set {{}} containing only the empty set is a nonempty pure set.

The precise definition of "class" depends on foundational context. In work on Zermelo–Fraenkel set theory, the notion of class is informal, whereas other set theories, such as Von Neumann–Bernays–Gödel set theory, axiomatize the notion of "proper class", e.g., as entities that are not members of another entity.

　　 _,.へ､_　_,....,_,.／＾L
　　 )　___ ゝ'-─'─- ､i､
　 く　 γ´:::::::::::::::::::::::::::ヽ!
　　iヽ,'::,'::::::/::::::::ﾊ::::i-=iﾆ',　　　　
　　|::::L!::::L!:ゝ､ｲ　ﾚi,.ｲﾊ::」　　　 ∧　☆
　 .|::::|ﾍ(Eｲ〈ﾋ_,!　　ﾋ,}〉iﾖｲ　　　/　 ',
　 .|::::|::ﾚヽ!､" 　 ∀ "ﾉ.i::|　　　/　r´i
　 .|::::|::::|::|Vi ＞r-r=i´ﾚiﾉ　　 /　r' /
　　|::||:::::γヽ!_ ｀'ﾊｲiヽv__　 ,〈 ,r'´/
　　ﾚﾍﾊ,〈γ(・ヽ, ﾑ　!/＾ /rつi>､/
　　　　　k.iゝ・)ノ_____,」､__ゝ(_ノ
　　　 　 ／ ￣7￣｀! ﾍ
　　　　,く　/　/　　　! .ﾊ　　　
　　　　 ヽﾆr=-r_,r-=rﾆゝ　　
　　　　 　　'--'　 '--'

　　　　 　 ／:::::::::::::::::::::::::::::::i
　　 　 　 /::::::::::::::::::::,ﾍ:::::::::::::::i
　　 　,.ｨ「｀ヽ､_::::_,.イ__ ｀ヽ.ヽ:::_iヽ､　　
　 ,. ´:::〈__r--i__]--ヽｒ-､__7ヽ､::::::::::ヽ.
イ_,.'-rへン-'"￣｀ー'-､ﾊ､>､二ヽ､:::::::::｀ヽ.
_,.r'イ´　ﾊ　i　 i　､____ヽ.　ヽ!ヽ　｀ヽ､　______＞
ハ/　　 !_,!ｨ !　ハ,!=-ヽﾊ　　ゝｲﾆヽ＞'ヽ､_ノ
ヽ.ﾚ､ 　i rrt､ﾚ'　´ ﾋ_,.ﾉ ﾚﾍﾊ 〉　 　i__,.ン
　　ﾉ)　ﾊﾊﾝ　　　　　 "　(/ﾝ 　 　 ﾊ
　　ヽﾊY! "　'　　　　　　(ｿ) 　　 i/　〉　　　　
　　ノ　.人 　　 ‐　　　 （ﾉﾝ　 　 ﾊ　 (
　　〈.　 r V＞､.,___　 ,.ｨ(Yﾉﾍへ/ﾚﾍﾊ〉
　　　)ヽﾊへハ　 ri／}>i<{'⌒ヽ､　
　　　　　　｀y'´/_l__/:::ﾑｲ　　　 ',
　　　　　 r〈　ｲ:::::::::::::〈　　　､_,.ｨ>
　　　 　　'y^ヽ!::::::;;::::::::ゝﾍr'　　 ヽ.

　 　　　　　　　 　　_r-､
　　　　 　 　_ｒ‐-'´::|:::/───- ､.,
　　　　 　 く:::＼:::::::|/-───- ､ 　｀ヽ.　　／）
　（＼　　 ／＼＿_」'　　　　　　 　 ヽ.　　' ,
　　　 。,.'　　.／　 /　　　　　　　　　　':, 　 ',　　つ　　目を離すとすぐ
　⊂ 　/　　/　/__ !　,ﾊ　　ﾊ.ｰ|-ﾊ 　 　∨　i　っ　　　えっちな方向に話が行くんだから！
　　　 ,' 　 .,'　,'　._」_/　|__/ ｧ;==､く!　 　 |. 　!
　　　 |　　.|　|'7´;'´ﾊ　　　　i　 ﾊ. |　　 / 　 |　 |　ｰ┼　 _」
　　　 |.　　|　| 、j__,り 　 　　ゝ‐┴|__／ | 　 |　 |　　_| 　 /|'⌒ヽ
　　 　 ､＿＼| ///　　 '　　 　/// ,ﾊ 　 ! 　 !　 ﾚ （_ﾉヽ '´|　 _.ﾉ わ ・　・ ・
　　　　　　 |｀7、 　 ｒｧｰ ￣｀ヽ 　ｒ' ､|　 |　/.|
　 　 o 　　 /／）、　 ｰ-　＿,ｿ ,(＼ ＼/イﾚ'
　　　　　　,'　 // l.＞.､,___,.　イ ,ﾊ　ヽ　Y　　　　　　　　　　　　　　○
　　 　 　　| 　 )'´ﾉ-ｧ‐::'7　　/ ￣!　　　.|　　　 Ｏ 。　, 　-─-　、
　　　 　　 | 　 イ´/:::::::/|__／ 　 人　 　 | 、　　 　 ／　　　　 　　 ヽ.
　　　 　　/ 　 !' 7::}￣ヽrr'´￣{/|::::｀!　　|　':,　　 /　　　　　　　 　 　 ',
　　 　　./　 　| ,'::::L＿ｱﾊ＿_」 /::::/|　 　',　}.　　l　/// 　　　///　　 |
　　　　,' 　 　 | l:::::く＿//|＿_>':::::::| |　 　 ∨ 　　 、　　 　 　 　 　 　 ,'
　　　 ,'　 　　,'/|:::::::::::::!o::::::::::r=t::::｀| 　 　 ||.　 　　＼　　　　　　　　/
　　 　!　　　/´/:::::::::::::|:::::::::::::::::::::::::::'､　 　.ﾘ　 　　　 ,＞- 　　 　 ／
　 　　ヽ-‐'　./::::::::::::::::!o::::::::::::::::::::::::::|` ｰ'　 　 　 ／　　,.　-‐''"´
　　　　　　 ,く::::::::::::::::/|:::::::::::::::::::::::::::::ヽ 　　　　 /　 　 （　　　ノ）

Every such subset has a smallest element, so to specify our choice function we can simply say that it maps each set to the least element of that set. This gives us a definite choice of an element from each set, and makes it unnecessary to apply the axiom of choice.

　 　　　　　　　　　　 ﾄ､　　　　　　 /!　　　　　　　　　　　,,. -‐- ､
　　　　　　　　　 ﾄ､,_| ｀ヽ,､　　 ／　|　　　　　　　　　 ／　 ：
　　　　　　　ヽ,ｰ'- ､,! ／::::＼/　　/___,,,.. -‐:ｧ　　　 /　 　 ：
　　　　　　　　 ｀ヽ._∠_::::::::::::::ヽ.く_ｒ'" ,,. -＜,_　 　 ,' 　 　 お
　　　　　　　_,,. '"´___::::￣｀"''::ｰ'-:ｧ-´､.,_／　　　　i　　　 .前
　　　　r-‐'"r;:::::└'"´:::::::/]:::::::::::/:::::::::::::::｀7´　　　!
　　　　＾ヽ;:::ヽ〉;; ''"´￣￣｀""'' ＜7__:::::::::/　　　　,ゝ'"´￣
　　　　　　',ｧ''"　　 ,:'｀ヽ.　　　 ､　 ヽ.　｀ヾ.　　　 ,'　　　う
　　　 　 , '´　 / 　 !:.:.:.:.:.', 　 ',　 ',　', ヽ.　　':,　　.!.　　　る
　　　　/　 　 ,'　/ ,!:.:.:.:.:.:.!_,,.-i‐ ,ﾊ　!　 ',　　 ',　 | 　　　さ
　　　 ,'　,　,':.i　/」_ﾊ:.:.:.:.:ﾊ./_」_/_ !　i　　i　　　＜ 　 　 い
　　　 i　!　!:.|7´_」_　';:.:./i'´!ﾝ' ｀ﾘ7　ﾊ　　!. 　 |　 ':,　 　ぞ
　　　ｲ ,'　i:,ﾊ 'i´!,ﾊ　ﾚ'　 　ゝ-‐'.,' /:i 'ｧ'´i　　 !　　ヽ､.,_______
　　　 ﾚ^ヽ!:ﾍ!`､ゞｿ 　 　　　　""ﾚ':.:.i i iﾝ'i　　 |
　　　　　　!:.:.:.!'" '､ 　 　　　 　　 ,!:.:.:i i'´　',　　|
　　　　　　|.:.从　 　　 ,- ､　　　 ,';.:.:.:! ',　　ヽ.　!
　-┼‐､､　!:.:.:i,｀i:;.､　 `　´ 　 ,./;':.:.:;ﾊ. ヽ.　　 ',!
　/ | ヽ　　 '､:.! |,ﾊ ｀ヽ.,__,,.. イ/:/:.:/'ヾ',　':,　　 ',
　　　　　　　 ヽ!:|　', 　i 　 ハ/_/_∠」::ンヽ!,　　 ',
　ヽ 　!　　　　 iヽ.　i　 |　/:.／´　　　 ｀ヽ:::::':,　　i
　　_,ノ　　　 　.,!:.:!　',　',ｲ:/　　　　　　　　';:::::i 　 i
　　　　 　 　 / !:.:|　rｋ''i:7　　　　　　　　　i:::::|. ,ﾊ!
　　　ツ　　 ,'　|:.:.!　/ ﾊ i　､ 　　　　　　　,:':::::!/::::':,
　　　　　　 i　 ﾚ'　/　,' k'.　 ヽ　　 　 ﾉ　ｲ:::::::!::::::::::ヽ.

わ からない事は上白沢先生に相談しよう
きっと答えてくれないが気休めにはなるぞ！

┌───────────────────────────
｜質問：
└───────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　,ﾍ　/|　　　　　 　ハクタクシステム　Ver.1.01b
iヽ　　　　　_,,,.......,,,,__　　 L_＞ｒ-‐ｧ
ヽ.｀ヽ､,. '" 　,.- ､　　 ｀ヽ.／ ./ヾ､」　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 ｀y'　　　　i::::::::', 　 　(´_,／　　　　 |　質問の答え：
　 /　i, i.,ﾒ､!,_!::::::!ﾊ !　i　ヽ. ',.　　　　 |
　ｲ　 ! ﾊ.ｧr!､|:::/　|_,!イﾊ　', i. 　 　 　|
　 ヽ､!ヽ!,!'!_ﾘ'ﾚ' ,ｫ'-'!､!::!　i　|.. 　　　 |
　　　 !::7" 　.　　 l.__り !:レi　| 　　 　 |
　　　 |::ﾍ､　rー-,　 "/!::::/:i　|　　　＜
　　　 |:::| i＞.､.,_ ,..イ /:::/　|　|　　 　 |
　 　　|:::|ｨ'/'´_!_／_r/::/ヽ､.|,.-!.　　　 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　 〈|::|ﾍ／ﾑ､　ｒ7:::/!　_i/　/|　　　　　　　　 　 ,-へ,　 , ﾍ
　　 ./'ﾚ7::::/ハ!ヽ､!/:::i｀ヾ_ i´ヽ!　　　/V|　　　　 ,ヽ_,_i=/__,」
　　〈　.､l､:::ﾚへ!:::::::::;:ｲヽ､__ヽ-'i. 　 / 　 i　　　　,'　　 ｀ｰ'　ヽ
　　　iヽ､!:::::::::::::::::::´〈i｀ヽ二ン｀|_,／　　/　　　　i <〈」iﾉﾊル.!〉
　　　|r'!ｨ'::/:::::::i:::::::::::ヽ､/|／-ﾚ' 　　／　　　　　i　L>ﾟ ｰ ﾟﾉiゝ
-‐''"´:::::/:::::::::::ﾊ::::::::::::::::＼-─ ''"´　　　　　　i>i ir^i ｀T´i'i |

　　　　　　　　　　　　　 ,..::'"´￣￣｀ヽ、　　　　　　　　　　　／　　 誰
　　　　　　　　　　 　 ／::::::::::::::::｀:::､::::::ﾊ　　　　　　　　 　 /　　　　ぞ
　　　　　　　　　　 .,:':､::::::::::::::::::::::::::::＼:::|　　　　　　　　　 |　　　　　：
　　　　　　　　　　/::::::＼::::::::::::::＿;;;;::::-┤　 　 　 　 　 　 |　　　　　：
　　　　　　　　　 /ｰ==ﾆ,＞─-､＿__:::::__|　　　　　 　 　 　'、　　 　 ：
　　　　　　 ,. -- '／｀ヾ´　 　 　 ＼　｀ヽ::!　　　　　　　　　　＼
　　 　　 ／　　 /　　 　＼　 　　 　 ヽ　　Y⌒ヽ-=＝=- ､　　　｀￣￣￣
　　　　/　　　　{　　　 .ﾄ､_｀ニ.、　　　 ,　 ﾊ　　 ∨ 　　　l|　　　　,. -──
　　 　 { 　 /　 |ﾄ 、　　|'´ ん「ﾊY 　 |　; 　 ';＼　 '; 　 　/　　　／　　　 .我
　　　　ゝ　|. 　T__ ＼　|　弋_zｿﾊ 　 |　|　　|　| `''┼＝＝==-､　　 ふ・ が
　　　　　.ｿ|　　|「lﾊ　ヽ| 　 ´ "" }　,ﾊ　|　　|　|. 　 | 　l| 　　　l」.　　と.・
　　　 ＜　; 　 八.り ,　　　　　　ﾉ,ｲ　ﾚ'　　 '　;　　 |　 ||　　　.| 　 　い・
　 　 　 ∠.,,_ｲ |　　　 , - ､ 　　 ./　|　 |　./　/　　 |　 ｌ」　 　 |　　　と
　　　　　　　 |人　　　'､　_）　／　 /　/／ , ' 　 　 |　　　　　 |　　　申
　　　　　　∠、　＞ 、　　　/　__イ.／´ ／,'　　 　 |　　　　　 |　　　し
　　　　　　　 {　/　／` ｰ 个´, -‐ ｀ヽ' 　/　,　 　 ;　 　 　 　 |　 　 た
　　　　　　　 ∨ﾚ'　　　_ｒ/／　　 　　 ＼'　/|　　./　　　　　　'、 　 か
　　　　 　 　 ,. -=＝=r':::7´ 　　　　　　　∨ ;　 ,.'　　　 　 　 　 ＼
　　　　　　 /　| 　　 く::/{　　　　　　　　　 ﾄ､／　　　　　　　　　　 ｀￣￣
　　　　　　l| 　 ､　　｀7　 ､　　　　　　 　　 ､ ＼
　　　　　　l|　　 ＼r'::｝ 　 |ﾄ､　　　　　 　 　　 　＼
　　　　 　 l」　 　　｀7　　 .||　＼　　　　　　　 　　　'ヽ、
　　　　　　　　　　 /　　 /　 /:::ム､_,,.. -─　､　　　} 　';
　　　　　　　　　 ./　　　{{　 {／　　　　　　　　　　,ｲ 　 }
　　　　　　　 　 / 　　__,.＞ ´ 　 　 　 　 　 　　, '　|　 /
　　　　　　　 ／　_ｒ「 l」　 　　　　　　　　 　 ／　　|／
　　　　　　 /　/´ | |　ｒ　　　　　　　　　　　　 　　/
　　　　　,rﾍ／ 　 | |　ｌ」　　　　　　　　 　 　 　／
　　　　 /　 {/　 __| |　　_　　　　　　　　　 　 /、
　　　　;　　 し'´　ヽヽ　| |　　　　　　　　 　./::::ヽ
　　 　 |　　　　　　| ﾄ､＼ 　　　　　　　　　/:::::::::::＼

In 1910, Zermelo left Göttingen upon being appointed to the chair of mathematics at Zurich University, which he resigned in 1916. He was appointed to an honorary chair at Freiburg im Breisgau in 1926, which he resigned in 1935 because he disapproved of Hitler's regime. At the end of World War II and at his request, Zermelo was reinstated to his honorary position in Freiburg.

　 　　　　　　　　 　　　_,,..　-─‐- ､.,_
　　　　　　　　　 ,　'"´　　　　 　　　　｀'ｒO ､　　 　　＿＿_(ヽ_＿＿
　　　　　　 　 ／　　　　　　　　　　　 　{､ヽ O　 　 └┐┌─┐┌┘
　　　　　 　 /　 　 .／　 　 ／|　　　　　 |--＼　　　 r┘└─┘└┐（] /7　　（ヽ　　 ＿＿__
　　　　　　 ,'　 　 /　 　 ／-‐'!　 , 　 　 / 　　､＼　 ｀二二l　l二二´ｒ‐‐' ,二l l二二ヽ└─ｧ/[l[l　
　　　　　　 |　 　 |　　 ./ｧ‐=,､|／|　 .／ﾊ.　 　 | rヽ └─┐┌─┘￣（（__　　　 　| |　　//_
　　　　　　 | 　 .八　 /ｲ!ﾉ　l| ヽ. |／|､/_,|　　　|/　　　　　.|__」　　　　　 ヽ┘　　　くノ　　ヽ┘
　　　　　　,'　／　（ヽ|'　ゝ‐ﾟ'　　 　 ｧ'!´Y| 　,　,'　　 ＿＿ｒ､＿＿
　　 　 　 / ´　 　 /ヽ　"　　　　 ,　lり ﾉ/.／ /　　 └┐┌┐┌┘　　　　
　　 　 ／ 　 　 ／ /人　　　　　　　　ﾞ/イ}／ 　　　l二＿￣＿二l　／> r‐'｀┐ｒ､　/7　ｒ､
　　　/ 　 　 ／ .／_7、＼　　 ｀　 　ノ＿r/|　　　　　 └┐┌┘　く く　 ｀7/_ｒ ヽ) | |_　|_」
　 　 |　　|　, '´￣＼　＼　＞‐ァ7て＿,ノ、|　　　　 　　 └┘　　 　＼>　｀(_ｄ､)　 ヽﾉ
　　　'､ 　∨　 　　　ヽ. 　＼_/ /＼ r'＿ノ},|.　　　　ｒ､　　 ｒ､　　　＿ｒ､＿
　　　　＼|| 　　　　 r |＼ ／∨|　/ﾄ､|　　ｿ　　 く） | | く） | |　ｒ､└,┌┐,┘ /7　ｒ､
　 　 　 　 |　_,,.. -‐ ヽ!　　　　ヽヾヽr-､イ_　　　　ｒ'_／l　 ヽ二ノに__￣_二l .| |_　|_」
　　　　 ｒ::"´::::::::::::::::_」　　　　　／（＼ ,ﾊ::]　　 　 く／ 　 　 |￣|└┐┌「｀! ┌┐
　　　　 l_,,... -‐ ''"´　'､　　 ＿/　　.|　 ヽ||　　　　　　　　　　|　 |　　￣../ └┘└─┐
　　　 　 ｀l　　 　 　 　 ＼/:::::::::｀ヽ人　　|ヽ.　　　　　 　　　/ 　 '、 　 く__/r'コ　l二"´
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　　 　 　/|　　　　　r/　　　　　　＼:::::Y:::::::∧ 　　　　　く_／　　 ＼__>　l二二...二二l

　 　　　　　　　　　　　　　　　 ,,. -‐─-- ､.,_　　　　　　　 　 ,'⌒ヽ
　　　　　　　　　　　　　　,　'´　　　　　　　　 ｀　 、　　　　　|　 　⌒ヽ
　　　　　　　　　　　　 ., '　　　 ,. -‐　　　　　 　 　＼　　　　!＿＿_.ノ
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　　　　　　　　　　　 /　 　/ 　　／__ /　　　　　 ヽ. o） ｀フ´
　　　　　　　　　 　, ' ／）r| 　 /ｧﾃ‐､!／|　　 ﾊ 　 Y　ﾊ´
　　　　　　　　　／ / ./-‐'､ ,八|　 ｒﾘヽ　!　 /　| 　 |　 |
　　　　　　　 ／ 　 !　ヽしﾉﾉ-､ ゝ‐'　 　 |／,､｀ｿ 　 ! ./
　　　　　　 / 　　__,|　　 ）　ﾉ'´|""　　 　　//,ﾊ'　 ./ﾚ'
　　　　　　,' 　.r/:::/　　 ,イ､　 |　　 ､ __´ `',.,∧／|
　　　　　　! ／|::::::|　 ／:::| |　/!＼ 　 　 　 ノ　 ｀rト- ､_
　　　　 ,.　'´　 ＼::＼:::::::.:| ﾚ'へ.　｀ｺTこ!´|｀>､_// 　 / !＼
　　　／ 　　　　　|::::::|::::::::|_|　　 ＼ /ﾑ./　ﾚ'| /:::|＼./　| __ ＞
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　　|　,!　　　　　　　/ヽ;::]/　　 ＼/　',:',.　 　 　 ∨　 ,ﾊ
　　| /　　　　　　　　　　 ||　　　　　　 ',ﾊ　　　　ﾉ ／　|
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　 /　　　　　　　　 　.／ﾄ､　　ｰ 　 ''"´|::|　　　 !　＼/_
　 !　　　　　　　　.／/＼＼ヽ.　 　 　　|::|　　　ﾊ　　　 ｀＞ 、
　 |＿＿,,.. -‐''"´|／　　 ヽ.`|　 　 　 　',:',　　　 ｀ヽ.__／::／｀ヽ
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Why does that guy have the Mozilla logo on his uniform?

If 1 ≤ μ, then 0^μ = 0.

    right up against my face

Cardinal arithmetic can be used to show not only that the number of points in a real number line is equal to the number of points in any segment of that line, but that this is equal to the number of points on a plane and, indeed, in any finite-dimensional space.

I'm now wanting to write larger programs, with more moving parts - acquiring data from a variety of different sources, cleaning it, processing it in various ways, displaying it in user interfaces, persisting it, communicating over networks, etc. How could one best structure such code to be legible, maintainable, and adaptable to changing requirements?

Set difference of U and A, denoted U \ A, is the set of all members of U that are not members of A. The set difference {1,2,3} \ {2,3,4} is {1} , while, conversely, the set difference {2,3,4} \ {1,2,3} is {4} . When A is a subset of U, the set difference U \ A is also called the complement of A in U. In this case, if the choice of U is clear from the context, the notation Ac is sometimes used instead of U \ A, particularly if U is a universal set as in the study of Venn diagrams.

    Can I talk about my game too? （*´▽｀*）

Category theorists have proposed topos theory as an alternative to traditional axiomatic set theory. Topos theory can interpret various alternatives to that theory, such as constructivism, finite set theory, and computable set theory.

In general, it is impossible to prove that F exists without the axiom of choice, but this seems to have gone unnoticed until Zermelo.

Tukey's lemma: Every non-empty collection of finite character has a maximal element with respect to inclusion.

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_ノ⌒´　　　　 ）
　　　＼　よ　い　し　ょ　/　　　　　/)　　　　　　　　　（_　　　　　　　〈
　　　　　　　　　,. --─‐-- ､　,へ 　　っ　　　 　　　　　　｀ヽ､__　　　 !
　　　　 　 　 ／　￣￣￣ ｀ヽ7::::／:7　　 ,.-''"i"⌒）　彡　　　　｀"'ｰ'"
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　　　　　 　 |　　　　　　　　　 　|　　　,へ／　　/　
　　　　へ　 | ,　 i　　i　　　　|　.|　.／／ ｀"'ｰ-'　　
　　　　 ＼ヽﾉ|__ﾊ___ﾉﾍ__ﾊ__ル'／7'ヽ. 　　 ,. -‐- ､
　　　　　く,.くヽr'::ヽ‐-‐'´:/⌒ヽ'"´　/ 　／　　　 　ヽ
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　　　　　 rく::::::::::::::::::::::::::＼＼〉､　　i　〈　,'"　　ヽ　　　　⌒
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イ^´ ...:::;;!二7:::::::::::::::::::::::::::::「ﾆ,!:::...　　　　人　　　ヽ､
　　　　　 ￣　　　　　　　　　￣
　　　　～　少　女　除　雪　中　～

　 　　　　　　　　　　,ﾍr/'!_,..-─- ､.,_
　　　　　　　　　　 ｒi:::;ゝ'´=-..,,__ 　　｀ヽ.
　　　　　　　　　　くﾝ´　　　　 　｀ヽ.､　　ヽ.
　　　　　　　　　　 / ,　/ ､_ i　　,　 ヽ!　 　',
　　　　　　　　　 く_/､ 」ｫ､!/! ./l_,.!- ﾊ　　 i
　　　　　　　　　　　//.7.ゞ'└'ｧr-ｫ Li_」　 i
　　　　　　　　　　く/ .ﾍ 　' ___　ゞ'´/ /　ﾊ !
　　　　　　　　　　　｀.!/｀>､'　 ) ,.イ､/!､/ !」
　　　　　　　　　　 　 ￣ ヾ'￣く／　｀ヽ.>ヽ
　　　　　　　　　　　　　　　 く!/　 　　 　!ヽﾄ､
　　　　　　　　　　　　　　　　ゝ!､　　ｧ'"ヽ:::', ヽ.
　　　　　　　　　-=＝ﾆニ二く!/｀'ｰへ. 　 ヽ.! /_
　　　　　　　　　　　　　　　　 <::::::::::::::〉　 /!´ー'　　　　　i
─-- ..,,,,__ 　　　　　　　　　.r／7｀'ｰ/　 ./「　　　　　　　ﾊ
｀"'' ─-- 二_"__''　─-- ::;;;____「|_,/　 /::::ﾊ　　　　　　/ .ﾉ
　　　　　　　　　　￣ｒ.ア"'':ｰ--| l.　　,iﾆﾆ⊃ヽ　　　 　i （
　　　　　　　　　　 r＜:::::/::::::::::l.」ｰ‐'::::::/::::ﾑ〉>､　　　 i　｀ヽ.
　　　　　　　　　　 7''>rヽ二ゝ､:::::::::::::::/::::;:イﾝ　　　　ノ　　　|
　　　　　　　　　　｀7'ｰ''￣｀_rｧ'-､__.イ/ン´　　,. '" ￣ ｀ヽ.　 i
　　　　　　　　　　.!,ゝ､_､_,.／　 .,.-ｒ'ｰ'7　　　,' ,.　　　　 ､　　 i
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　　　　　　,.-‐ ｒ'ｰ-ン　　　　　 ヽ--'　　　　 ',　ヽ-' ｰ'　　　/
　　　　　 |i:::;イ｀ｰ'7　　　　　　　　　　　　　　 ヽ､.,_______,,. '
　　　　　 ヽ､__ﾆン

There exists a model of ZF¬C in which there is a vector space with two bases of different cardinalities.

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　,.-‐､.　 ,.-‐､　 　　, "￣ ヽ.
　　　　.　　。　　　　　　　　　　 /　 ／ / 　／　　　i　　　　 i
　　　　　　　　　　　* 　　　　　 |　/____|　/　　　　　ヽ､.,__,ノ
　　　　　　　　゜　　　　　　　　,.''-'　　└'｀ヽ.　　　　　。
　　　　　　　．　　　　　　　　/ 　　 　 　 / ﾊ　　　　　　　　　.
　　　　　　.....　　　　 　　　　.i　　　　 　 ﾚ'k'　　　　　　*
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　　　　　　　　　　　　　　　 ﾚ' 7V::::ヽ/::::::::|　　　　､ヽ川 l | 川 l |
　　　　　　　　　　　　　　　　 くｧ-r─r--､」　　　　ミ
　　　　　　　　　　　　　　　 ／　 /　　i　　',　　　　三　　戻　早
　　　　　　　　　　　 　　 ／　　/　　　l　　 i　　　 .Ξ　　 っ　く
　　　　　　　　　　　　　 ヽ､ｒ-'､.,______」____,.」　　　 三　　て　地
　　　　　　　　　　　　　　　/ 　./｀￣|　　|　　　 　 Ξ　　こ　球
　　　　　　　　　　　　　　 /　 /　 　 |　　|　　　　　三.　 い　に
　　　　　　　　　　　 　　 ,'　 /　　　 |　　|　　　　　Ξ　　! !
　　　　　　　　　　　　　/､__/　　　　|___,.|　　　　　 彡
　　　　　　　　　　　　,ｲ'ｰ‐'!　　　　iｰ-‐i　　　　　　ﾝ川 l | 川 l |
　　　　　　　　　　　 l::::::::/i　　　　 |:::::::::i〉
---─ｧ=ﾆﾆ二"´￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣｀`二ﾆﾆ=ｧ‐---

retraction if a right inverse of f exists, i.e. if there exists a morphism g : b → a with fg = 1b.

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　､ l l|| ll | || l ll| l| | ||
　　　　　　 |　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ミ
　　　　　　/ ー　　　 ﾉ!　　　＿＿　　　　　　　　　　　　 三　　考　　エ　　も
　　 　 ト-'　　　　 ／ └''"´　　 　 ｀l⌒)、　、　　　　　　.ﾆ 　　え　　 ッ 　 し
　＿_ノ　　 　 , 　´ ,. 　- ''"´￣￣｀ .|＿__）　 ＼　　　 　 Ξ. 　 て　　チ 　 か
　＼　　　 ＜ 　 ／　 　/ 　　　　　 |　　　｀ヽ.　ﾊ　　　　 三　　る　　な.　　し
　　 ）　　　 /　/ 　 　　|.　 　　 ',　 ﾊ 　　ﾊ　 ＼ |　　　　 ﾆ 　　!? 　 事　　て
　　　　　 ／　 |　 /　 /＼　　 　| /ー-＜/　　　ﾒ、　　　 三 　　　　 を
　　　　∠、 .　　　!　-＞-'＼.　/´ i⌒ヽ　|　 ／　 !＼　　 ﾆ 　　　　　
　　　　　　',. ヽ. 　| 7´ l⌒ヽ ∨ 　弋_り　ﾊ/　　　.| 　 ヽ.　彡,
　　　　　　 |.　 ',　ﾚ|　弋_り 　.　　　　‐ ﾟ∠ o　　,ﾊ　　　',　ノl l|| ll | || l ll| l| | ||
　　　　　　 |　　| ∧`oｰ 　　,. -─ ､ //（｀ヽ､ 　○ |.　 　 !
　　 ぁ 　　八　○　|//　　　|/　　　 ） 　/　| ﾄ､'　 /　　　.|
　　　ら　〈ｒ'´＼　ﾟ/｀）　 　　｀　　 　　／　/ //〉　|　　　/
　　 ゃ　　 ＼　 .ｿ|　｀ヽ｀7ァ=┬‐ イ/　　　 ／⌒ヽ 　 ,'
　　　 だ　　 ／.　 ＼ 　 ＼/ ./___／|　　_／ ￣＼ﾉ　　|
　　　　　 　/ 　 ＼/||　　ノ;ﾊ|／＼八／　ヽ　　 /ﾄ、　 |
　　　　　　 !　　　,'　|| ／:::::| |'⌒⌒)/＼　　 〉 '´　!ﾊ　/
　　　　　　 |　 　 |　 !!::::::::::::! !＼／ |　　｀／ 　 　.!　|/　　 ∧__∧　　[]
　　　　　　 ',　　/|　 ',',::::::::://　/　　!　 / 　　　　 | ./　　 ./o::::::::oヽ　o
　　　　　　　＼/　　　＼_／|　,'.　　└-ト、　　 　 ∨　 　 |:::::Д:::::::ﾉ
　　 　 　 　 　〈　　　　　　 /　|　　　　八　　　　　　〉　　　｀|:::::::::::::::＼

　　　　　　　　　　　　　　　　／　ﾚ'7　 　　　　ノ）‐ ''" 　/
　　　　　　　　　　　　　　ﾄ､/ 　　　|　　,.　''"´　　　　 　 }/|
　　　　　　　　　　　　　　| '　 　 　 ﾊ∠、　　　　　　　　' ./
　　　　　　　　　　　　　 _.ゝ_..　-‐──-　、　　　　 　 ／
　　　　　　　 　 （ゝ-‐'´　'´　　　 　　　　　 　｀' ＜　イ -‐ｧ
　　　　　　　　 　 ＞'"　/　　　　　　　　　　 ヽ、　＼.　／
　　　　　　　　.／　　 　{　　　　　　　｀ヽ　　 　 ' 　　∨
　　　　　　 　/　 /　　.∧ 　 　 ﾄ､_」ニ､|　 ,ﾊ　,」二ヽ|　　Zun♪
　　　　　　　 | l　{.　　 !‐ｧ ､ 　 |'´ ん' ﾊ∨　 //:::（ヽヽ
　　　　　　　 |八 ＼　 |「lヽ ｀ヽ}　 j＿zｿﾘ ﾊ |::7｀!::} .| |　　Zun♪
　　　　　　　　　 ＼ ﾚﾊ{ り　　　　 　 "7 /　 |::|　|/ / .!
　　　　　♪ ～　｛7　l7"　 '　　 　　 　 ﾚﾍ 　 ｿ　'　'　∧
　　　　 　　 　 　 ,|　八　　　lｒ￣ヽ 　　　ﾘ　ｲ 　 　　/　＼
　　　　　　　　　 /ﾚ'} 　＼　　、　ﾉ　 　 / イ| _＿__,ム　 ,　）
　　　　　　　　　;　 /　_ノﾉヽ、＿　　　イ　/「ｒ）　(r]　）／ﾚ'
　　　　　　　　　|　ﾚ'´ ∨｀ヽ,人|　 　　 ﾄ､{ |_」＿_l」ソ
　　　　　　　　　「｀Tこ]　＿＿,ｒ'‐ｧ'"´/:::::}/　　　 ﾄ､ヽ
　　　　　　　　　L）_ｒ_l」´ |＼::/ムｲ／:::::;:/　　 　 ; }::/
　　　　　　 　 　;　　　 ! ./ 　/::::|::::|::::／/　　　　,' /´
　　　　　 　 　 /　 　　|;'　／:::::::!::::!:ｲ /　　　　.//
　　　　　　　 ./　 　 　l{ くｒ-､＿」-‐' /　　　　.//
　　　　　　　/　 　 　 ;|　　|（＞|| 　 ; 　　 　 .//
　　　　　 　 {　　　　,ｲ|　　| 　 l|| 　 {　　　／l7
　　　　　　　 、＿／ / 　 ;' 　 ﾘ　　 ` ‐''" 　 '
　　　　　　　　　　　/　　 ; 十./　　　　　　　 |
　　　　　　　　　　 /　　 /　 / 　　　 　 　 　 |
　　　　　　　　　 r'　 　./　 /　　　　　 　 　　{
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:::: :: : :　:　:　　/ 　 　／　　　　　　　｀ヽ. ｀ヽ＼　　‐ ─'⌒ ｰ
:: : :　　　　　 ,'　　　/ ／　 　 /　　　　 ﾊ　　', ﾊ　 ､＿,　- ､
: : 　 　 　 　/ 　　 ; / .メ、/| |　　 　.l　　|　　}　|　　　　　　 `'ｰ
:　　　　　　rﾍ /　 !, 　 ｧ-＼∧　　./|　 /　　;　;
　　　 　　/ ヽ,ミ三| 　7　ん,ゝ､＼/_,|.イ|　 /ﾚ'
　　　　／　/ 　＜!|. 人 弋り　　　　{ﾘ 八ｲ
　　　 ;'　, ｲ 　/　ﾟ o ○///　　　 , 　//|Ｏ> 。
　　　 ﾚ'|　/､ .| 　|人 ハ、 　　__ 　　　人　ﾊ
　　 　　∨　ヽ|/´: : :.＼|ヽぅｧｰ-ｒｧｆl´、|/∨ﾉ
　　　　　　 　,': : : : : : : :| :|Xトム|X|/ ﾊ
　　　　 　 　 |: : : : : : : :|! :∨/　ﾊX! : : |
　　　　　 　く!＼＿＿;.ｲ} : '/　/　', ﾄ､__|
　　　　　　/ :ゝ,X X X 」 :く＿ｒ-|_ﾑ|XX}
　　　　　.ｒﾍ: : : |￣￣「 : /ﾒ;'::/;:ｲ´￣「
　　 　.／ヽ..ヽ: :}　　　{.:/ﾒ/::/;'　|　 　{
　　 ,.:':::::::::::::＼ｒ'＝=='トﾆ三ﾆﾊ.r'==='}
　 ｒﾍ::::::::::::::::::::{ 　　　 }／人ヽﾑ{　　　}

A split monomorphism h : X → Y is a monomorphism having a left inverse g : Y → X, so that g ∘ h = idX. Thus h ∘ g : Y → Y is idempotent, so that (h ∘ g)2 = h ∘ g.

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｏ　　　　　,.'⌒ヽ､
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_ノ⌒´　　　　 ）
　　　＼　よ　い　し　ょ　/　　　　　/)　　　　　　　　　（_　　　　　　　〈
　　　　　　　　　,. --─‐-- ､　,へ 　　っ　　　 　　　　　　｀ヽ､__　　　 !
　　　　 　 　 ／　￣￣￣ ｀ヽ7::::／:7　　 ,.-''"i"⌒）　彡　　　　｀"'ｰ'"
　　　　　　　,'　　　　 　　　　　'く::::::」　／　　 ヽ､_ｲ　　　　 (⌒l
　　　　　 　 |　　　　　　　　　 　|￣　<　,. -､　　 /　　　o　　￣
　　　　　 　 |　　　　　　　　　 　|　　　,へ／　　/　
　　　　へ　 | ,　 i　　i　　　　|　.|　.／／ ｀"'ｰ-'　　
　　　　 ＼ヽﾉ|__ﾊ___ﾉﾍ__ﾊ__ル'／7'ヽ. 　　 ,. -‐- ､
　　　　　く,.くヽr'::ヽ‐-‐'´:/⌒ヽ'"´　/ 　／　　　 　ヽ
⌒ヽ,　 　　　＼＼::::::::::::〈　　 〈___,／　/　　　　　　　i
　　⌒｀"'ｰ'⌒く:＼＼:::::::::::'r-'"　彡 　i　　　　　　　/　　,.'⌒
　　　　 　⊂[[二二＼＼二＞　､　　　,'　　 ,.､___,.ノ　　/
ヽ　　　　 ⌒／/:::::｀Ｔ＼＼＼　　ヽ　/　／　___／￣｀⌒ヽ
　　　　　 rく::::::::::::::::::::::::::＼＼〉､　　i　〈　,'"　　ヽ　　　　⌒
　　　　　　>'ｰ=r-､__i___,.ｒ､__＼）>　　ヽﾉ
　　　_,. 　/　 ／´￣　 　｀ヽ.　 !　　　（　　　ゝ⌒
イ^´ ...:::;;!二7:::::::::::::::::::::::::::::「ﾆ,!:::...　　　　人　　　ヽ､
　　　　　 ￣　　　　　　　　　￣
　　　　～　少　女　除　雪　中　～

　 　　　　　　　　　　,ﾍr/'!_,..-─- ､.,_
　　　　　　　　　　 ｒi:::;ゝ'´=-..,,__ 　　｀ヽ.
　　　　　　　　　　くﾝ´　　　　 　｀ヽ.､　　ヽ.
　　　　　　　　　　 / ,　/ ､_ i　　,　 ヽ!　 　',
　　　　　　　　　 く_/､ 」ｫ､!/! ./l_,.!- ﾊ　　 i
　　　　　　　　　　　//.7.ゞ'└'ｧr-ｫ Li_」　 i
　　　　　　　　　　く/ .ﾍ 　' ___　ゞ'´/ /　ﾊ !
　　　　　　　　　　　｀.!/｀>､'　 ) ,.イ､/!､/ !」
　　　　　　　　　　 　 ￣ ヾ'￣く／　｀ヽ.>ヽ
　　　　　　　　　　　　　　　 く!/　 　　 　!ヽﾄ､
　　　　　　　　　　　　　　　　ゝ!､　　ｧ'"ヽ:::', ヽ.
　　　　　　　　　-=＝ﾆニ二く!/｀'ｰへ. 　 ヽ.! /_
　　　　　　　　　　　　　　　　 <::::::::::::::〉　 /!´ー'　　　　　i
─-- ..,,,,__ 　　　　　　　　　.r／7｀'ｰ/　 ./「　　　　　　　ﾊ
｀"'' ─-- 二_"__''　─-- ::;;;____「|_,/　 /::::ﾊ　　　　　　/ .ﾉ
　　　　　　　　　　￣ｒ.ア"'':ｰ--| l.　　,iﾆﾆ⊃ヽ　　　 　i （
　　　　　　　　　　 r＜:::::/::::::::::l.」ｰ‐'::::::/::::ﾑ〉>､　　　 i　｀ヽ.
　　　　　　　　　　 7''>rヽ二ゝ､:::::::::::::::/::::;:イﾝ　　　　ノ　　　|
　　　　　　　　　　｀7'ｰ''￣｀_rｧ'-､__.イ/ン´　　,. '" ￣ ｀ヽ.　 i
　　　　　　　　　　.!,ゝ､_､_,.／　 .,.-ｒ'ｰ'7　　　,' ,.　　　　 ､　　 i
　　　　　　　　 　/　　／　　　　|i::;イ'7　　　 i　・　 　　・　　　i
　　　　　　,.-‐ ｒ'ｰ-ン　　　　　 ヽ--'　　　　 ',　ヽ-' ｰ'　　　/
　　　　　 |i:::;イ｀ｰ'7　　　　　　　　　　　　　　 ヽ､.,_______,,. '
　　　　　 ヽ､__ﾆン

Addition is associative (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν).

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　,.-‐､.　 ,.-‐､　 　　, "￣ ヽ.
　　　　.　　。　　　　　　　　　　 /　 ／ / 　／　　　i　　　　 i
　　　　　　　　　　　* 　　　　　 |　/____|　/　　　　　ヽ､.,__,ノ
　　　　　　　　゜　　　　　　　　,.''-'　　└'｀ヽ.　　　　　。
　　　　　　　．　　　　　　　　/ 　　 　 　 / ﾊ　　　　　　　　　.
　　　　　　.....　　　　 　　　　.i　　　　 　 ﾚ'k'　　　　　　*
....::::::::::::: 　___r､　　 　 　　 　|　i　　　 　 | |,!　　　　__,,..-‐ｒｒ'^ｰ-､
:::::::::::::::::　ヽ､___7´`'ｰ- ､..,___|　|　　　　i　|ﾍ-‐''"´:::::::::::::::| |__,,.ノ
:::::::::::::::::::::: 　 └- ､::;;;_::::::::::|　|　　i 　 |　|:::::__;;;;:::: --─┘'
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　　　　　　　　　　　　　　　 ﾚ' 7V::::ヽ/::::::::|　　　　､ヽ川 l | 川 l |
　　　　　　　　　　　　　　　　 くｧ-r─r--､」　　　　ミ
　　　　　　　　　　　　　　　 ／　 /　　i　　',　　　　三　　戻　早
　　　　　　　　　　　 　　 ／　　/　　　l　　 i　　　 .Ξ　　 っ　く
　　　　　　　　　　　　　 ヽ､ｒ-'､.,______」____,.」　　　 三　　て　地
　　　　　　　　　　　　　　　/ 　./｀￣|　　|　　　 　 Ξ　　こ　球
　　　　　　　　　　　　　　 /　 /　 　 |　　|　　　　　三.　 い　に
　　　　　　　　　　　 　　 ,'　 /　　　 |　　|　　　　　Ξ　　! !
　　　　　　　　　　　　　/､__/　　　　|___,.|　　　　　 彡
　　　　　　　　　　　　,ｲ'ｰ‐'!　　　　iｰ-‐i　　　　　　ﾝ川 l | 川 l |
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Infinity is also used to describe infinite series:

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　､ l l|| ll | || l ll| l| | ||
　　　　　　 |　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ミ
　　　　　　/ ー　　　 ﾉ!　　　＿＿　　　　　　　　　　　　 三　　考　　エ　　も
　　 　 ト-'　　　　 ／ └''"´　　 　 ｀l⌒)、　、　　　　　　.ﾆ 　　え　　 ッ 　 し
　＿_ノ　　 　 , 　´ ,. 　- ''"´￣￣｀ .|＿__）　 ＼　　　 　 Ξ. 　 て　　チ 　 か
　＼　　　 ＜ 　 ／　 　/ 　　　　　 |　　　｀ヽ.　ﾊ　　　　 三　　る　　な.　　し
　　 ）　　　 /　/ 　 　　|.　 　　 ',　 ﾊ 　　ﾊ　 ＼ |　　　　 ﾆ 　　!? 　 事　　て
　　　　　 ／　 |　 /　 /＼　　 　| /ー-＜/　　　ﾒ、　　　 三 　　　　 を
　　　　∠、 .　　　!　-＞-'＼.　/´ i⌒ヽ　|　 ／　 !＼　　 ﾆ 　　　　　
　　　　　　',. ヽ. 　| 7´ l⌒ヽ ∨ 　弋_り　ﾊ/　　　.| 　 ヽ.　彡,
　　　　　　 |.　 ',　ﾚ|　弋_り 　.　　　　‐ ﾟ∠ o　　,ﾊ　　　',　ノl l|| ll | || l ll| l| | ||
　　　　　　 |　　| ∧`oｰ 　　,. -─ ､ //（｀ヽ､ 　○ |.　 　 !
　　 ぁ 　　八　○　|//　　　|/　　　 ） 　/　| ﾄ､'　 /　　　.|
　　　ら　〈ｒ'´＼　ﾟ/｀）　 　　｀　　 　　／　/ //〉　|　　　/
　　 ゃ　　 ＼　 .ｿ|　｀ヽ｀7ァ=┬‐ イ/　　　 ／⌒ヽ 　 ,'
　　　 だ　　 ／.　 ＼ 　 ＼/ ./___／|　　_／ ￣＼ﾉ　　|
　　　　　 　/ 　 ＼/||　　ノ;ﾊ|／＼八／　ヽ　　 /ﾄ、　 |
　　　　　　 !　　　,'　|| ／:::::| |'⌒⌒)/＼　　 〉 '´　!ﾊ　/
　　　　　　 |　 　 |　 !!::::::::::::! !＼／ |　　｀／ 　 　.!　|/　　 ∧__∧　　[]
　　　　　　 ',　　/|　 ',',::::::::://　/　　!　 / 　　　　 | ./　　 ./o::::::::oヽ　o
　　　　　　　＼/　　　＼_／|　,'.　　└-ト、　　 　 ∨　 　 |:::::Д:::::::ﾉ
　　 　 　 　 　〈　　　　　　 /　|　　　　八　　　　　　〉　　　｀|:::::::::::::::＼

　　　　　　　　　　　　　　　　／　ﾚ'7　 　　　　ノ）‐ ''" 　/
　　　　　　　　　　　　　　ﾄ､/ 　　　|　　,.　''"´　　　　 　 }/|
　　　　　　　　　　　　　　| '　 　 　 ﾊ∠、　　　　　　　　' ./
　　　　　　　　　　　　　 _.ゝ_..　-‐──-　、　　　　 　 ／
　　　　　　　 　 （ゝ-‐'´　'´　　　 　　　　　 　｀' ＜　イ -‐ｧ
　　　　　　　　 　 ＞'"　/　　　　　　　　　　 ヽ、　＼.　／
　　　　　　　　.／　　 　{　　　　　　　｀ヽ　　 　 ' 　　∨
　　　　　　 　/　 /　　.∧ 　 　 ﾄ､_」ニ､|　 ,ﾊ　,」二ヽ|　　Zun♪
　　　　　　　 | l　{.　　 !‐ｧ ､ 　 |'´ ん' ﾊ∨　 //:::（ヽヽ
　　　　　　　 |八 ＼　 |「lヽ ｀ヽ}　 j＿zｿﾘ ﾊ |::7｀!::} .| |　　Zun♪
　　　　　　　　　 ＼ ﾚﾊ{ り　　　　 　 "7 /　 |::|　|/ / .!
　　　　　♪ ～　｛7　l7"　 '　　 　　 　 ﾚﾍ 　 ｿ　'　'　∧
　　　　 　　 　 　 ,|　八　　　lｒ￣ヽ 　　　ﾘ　ｲ 　 　　/　＼
　　　　　　　　　 /ﾚ'} 　＼　　、　ﾉ　 　 / イ| _＿__,ム　 ,　）
　　　　　　　　　;　 /　_ノﾉヽ、＿　　　イ　/「ｒ）　(r]　）／ﾚ'
　　　　　　　　　|　ﾚ'´ ∨｀ヽ,人|　 　　 ﾄ､{ |_」＿_l」ソ
　　　　　　　　　「｀Tこ]　＿＿,ｒ'‐ｧ'"´/:::::}/　　　 ﾄ､ヽ
　　　　　　　　　L）_ｒ_l」´ |＼::/ムｲ／:::::;:/　　 　 ; }::/
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　　　　　　　 ./　 　 　l{ くｒ-､＿」-‐' /　　　　.//
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Mathematical topics typically emerge and evolve through interactions among many researchers. Set theory, however, was founded by a single paper in 1874 by Georg Cantor: "On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers".

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　　　　／　/ 　＜!|. 人 弋り　　　　{ﾘ 八ｲ
　　　 ;'　, ｲ 　/　ﾟ o ○///　　　 , 　//|Ｏ> 。
　　　 ﾚ'|　/､ .| 　|人 ハ、 　　__ 　　　人　ﾊ
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　　　　　　 　,': : : : : : : :| :|Xトム|X|/ ﾊ
　　　　 　 　 |: : : : : : : :|! :∨/　ﾊX! : : |
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　　　　　　/ :ゝ,X X X 」 :く＿ｒ-|_ﾑ|XX}
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　　 　.／ヽ..ヽ: :}　　　{.:/ﾒ/::/;'　|　 　{
　　 ,.:':::::::::::::＼ｒ'＝=='トﾆ三ﾆﾊ.r'==='}
　 ｒﾍ::::::::::::::::::::{ 　　　 }／人ヽﾑ{　　　}

An inner model of Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) is a transitive class that includes all the ordinals and satisfies all the axioms of ZF. The canonical example is the constructible universe L developed by Gödel. One reason that the study of inner models is of interest is that it can be used to prove consistency results. For example, it can be shown that regardless of whether a model V of ZF satisfies the continuum hypothesis or the axiom of choice, the inner model L constructed inside the original model will satisfy both the generalized continuum hypothesis and the axiom of choice. Thus the assumption that ZF is consistent (has at least one model) implies that ZF together with these two principles is consistent.

　　 _,.へ､_　_,....,_,.／＾L
　　 )　___ ゝ'-─'─- ､i､
　 く　 γ´:::::::::::::::::::::::::::ヽ!
　　iヽ,'::,'::::::/::::::::ﾊ::::i-=iﾆ',　　　　
　　|::::L!::::L!:ゝ､ｲ　ﾚi,.ｲﾊ::」　　　 ∧　☆
　 .|::::|ﾍ(Eｲ〈ﾋ_,!　　ﾋ,}〉iﾖｲ　　　/　 ',
　 .|::::|::ﾚヽ!､" 　 ∀ "ﾉ.i::|　　　/　r´i
　 .|::::|::::|::|Vi ＞r-r=i´ﾚiﾉ　　 /　r' /
　　|::||:::::γヽ!_ ｀'ﾊｲiヽv__　 ,〈 ,r'´/
　　ﾚﾍﾊ,〈γ(・ヽ, ﾑ　!/＾ /rつi>､/
　　　　　k.iゝ・)ノ_____,」､__ゝ(_ノ
　　　 　 ／ ￣7￣｀! ﾍ
　　　　,く　/　/　　　! .ﾊ　　　
　　　　 ヽﾆr=-r_,r-=rﾆゝ　　
　　　　 　　'--'　 '--'

　　　　 　 ／:::::::::::::::::::::::::::::::i
　　 　 　 /::::::::::::::::::::,ﾍ:::::::::::::::i
　　 　,.ｨ「｀ヽ､_::::_,.イ__ ｀ヽ.ヽ:::_iヽ､　　
　 ,. ´:::〈__r--i__]--ヽｒ-､__7ヽ､::::::::::ヽ.
イ_,.'-rへン-'"￣｀ー'-､ﾊ､>､二ヽ､:::::::::｀ヽ.
_,.r'イ´　ﾊ　i　 i　､____ヽ.　ヽ!ヽ　｀ヽ､　______＞
ハ/　　 !_,!ｨ !　ハ,!=-ヽﾊ　　ゝｲﾆヽ＞'ヽ､_ノ
ヽ.ﾚ､ 　i rrt､ﾚ'　´ ﾋ_,.ﾉ ﾚﾍﾊ 〉　 　i__,.ン
　　ﾉ)　ﾊﾊﾝ　　　　　 "　(/ﾝ 　 　 ﾊ
　　ヽﾊY! "　'　　　　　　(ｿ) 　　 i/　〉　　　　
　　ノ　.人 　　 ‐　　　 （ﾉﾝ　 　 ﾊ　 (
　　〈.　 r V＞､.,___　 ,.ｨ(Yﾉﾍへ/ﾚﾍﾊ〉
　　　)ヽﾊへハ　 ri／}>i<{'⌒ヽ､　
　　　　　　｀y'´/_l__/:::ﾑｲ　　　 ',
　　　　　 r〈　ｲ:::::::::::::〈　　　､_,.ｨ>
　　　 　　'y^ヽ!::::::;;::::::::ゝﾍr'　　 ヽ.

There are many other equivalent statements of the axiom of choice. These are equivalent in the sense that, in the presence of other basic axioms of set theory, they imply the axiom of choice and are implied by it.

　 　　　　　　　 　　_r-､
　　　　 　 　_ｒ‐-'´::|:::/───- ､.,
　　　　 　 く:::＼:::::::|/-───- ､ 　｀ヽ.　　／）
　（＼　　 ／＼＿_」'　　　　　　 　 ヽ.　　' ,
　　　 。,.'　　.／　 /　　　　　　　　　　':, 　 ',　　つ　　目を離すとすぐ
　⊂ 　/　　/　/__ !　,ﾊ　　ﾊ.ｰ|-ﾊ 　 　∨　i　っ　　　えっちな方向に話が行くんだから！
　　　 ,' 　 .,'　,'　._」_/　|__/ ｧ;==､く!　 　 |. 　!
　　　 |　　.|　|'7´;'´ﾊ　　　　i　 ﾊ. |　　 / 　 |　 |　ｰ┼　 _」
　　　 |.　　|　| 、j__,り 　 　　ゝ‐┴|__／ | 　 |　 |　　_| 　 /|'⌒ヽ
　　 　 ､＿＼| ///　　 '　　 　/// ,ﾊ 　 ! 　 !　 ﾚ （_ﾉヽ '´|　 _.ﾉ わ ・　・ ・
　　　　　　 |｀7、 　 ｒｧｰ ￣｀ヽ 　ｒ' ､|　 |　/.|
　 　 o 　　 /／）、　 ｰ-　＿,ｿ ,(＼ ＼/イﾚ'
　　　　　　,'　 // l.＞.､,___,.　イ ,ﾊ　ヽ　Y　　　　　　　　　　　　　　○
　　 　 　　| 　 )'´ﾉ-ｧ‐::'7　　/ ￣!　　　.|　　　 Ｏ 。　, 　-─-　、
　　　 　　 | 　 イ´/:::::::/|__／ 　 人　 　 | 、　　 　 ／　　　　 　　 ヽ.
　　　 　　/ 　 !' 7::}￣ヽrr'´￣{/|::::｀!　　|　':,　　 /　　　　　　　 　 　 ',
　　 　　./　 　| ,'::::L＿ｱﾊ＿_」 /::::/|　 　',　}.　　l　/// 　　　///　　 |
　　　　,' 　 　 | l:::::く＿//|＿_>':::::::| |　 　 ∨ 　　 、　　 　 　 　 　 　 ,'
　　　 ,'　 　　,'/|:::::::::::::!o::::::::::r=t::::｀| 　 　 ||.　 　　＼　　　　　　　　/
　　 　!　　　/´/:::::::::::::|:::::::::::::::::::::::::::'､　 　.ﾘ　 　　　 ,＞- 　　 　 ／
　 　　ヽ-‐'　./::::::::::::::::!o::::::::::::::::::::::::::|` ｰ'　 　 　 ／　　,.　-‐''"´
　　　　　　 ,く::::::::::::::::/|:::::::::::::::::::::::::::::ヽ 　　　　 /　 　 （　　　ノ）

One argument given in favor of using the axiom of choice is that it is convenient to use it because it allows one to prove some simplifying propositions that otherwise could not be proved. Many theorems which are provable using choice are of an elegant general character: every ideal in a ring is contained in a maximal ideal, every vector space has a basis, and every product of compact spaces is compact. Without the axiom of choice, these theorems may not hold for mathematical objects of large cardinality.

　 　　　　　　　　　　 ﾄ､　　　　　　 /!　　　　　　　　　　　,,. -‐- ､
　　　　　　　　　 ﾄ､,_| ｀ヽ,､　　 ／　|　　　　　　　　　 ／　 ：
　　　　　　　ヽ,ｰ'- ､,! ／::::＼/　　/___,,,.. -‐:ｧ　　　 /　 　 ：
　　　　　　　　 ｀ヽ._∠_::::::::::::::ヽ.く_ｒ'" ,,. -＜,_　 　 ,' 　 　 お
　　　　　　　_,,. '"´___::::￣｀"''::ｰ'-:ｧ-´､.,_／　　　　i　　　 .前
　　　　r-‐'"r;:::::└'"´:::::::/]:::::::::::/:::::::::::::::｀7´　　　!
　　　　＾ヽ;:::ヽ〉;; ''"´￣￣｀""'' ＜7__:::::::::/　　　　,ゝ'"´￣
　　　　　　',ｧ''"　　 ,:'｀ヽ.　　　 ､　 ヽ.　｀ヾ.　　　 ,'　　　う
　　　 　 , '´　 / 　 !:.:.:.:.:.', 　 ',　 ',　', ヽ.　　':,　　.!.　　　る
　　　　/　 　 ,'　/ ,!:.:.:.:.:.:.!_,,.-i‐ ,ﾊ　!　 ',　　 ',　 | 　　　さ
　　　 ,'　,　,':.i　/」_ﾊ:.:.:.:.:ﾊ./_」_/_ !　i　　i　　　＜ 　 　 い
　　　 i　!　!:.|7´_」_　';:.:./i'´!ﾝ' ｀ﾘ7　ﾊ　　!. 　 |　 ':,　 　ぞ
　　　ｲ ,'　i:,ﾊ 'i´!,ﾊ　ﾚ'　 　ゝ-‐'.,' /:i 'ｧ'´i　　 !　　ヽ､.,_______
　　　 ﾚ^ヽ!:ﾍ!`､ゞｿ 　 　　　　""ﾚ':.:.i i iﾝ'i　　 |
　　　　　　!:.:.:.!'" '､ 　 　　　 　　 ,!:.:.:i i'´　',　　|
　　　　　　|.:.从　 　　 ,- ､　　　 ,';.:.:.:! ',　　ヽ.　!
　-┼‐､､　!:.:.:i,｀i:;.､　 `　´ 　 ,./;':.:.:;ﾊ. ヽ.　　 ',!
　/ | ヽ　　 '､:.! |,ﾊ ｀ヽ.,__,,.. イ/:/:.:/'ヾ',　':,　　 ',
　　　　　　　 ヽ!:|　', 　i 　 ハ/_/_∠」::ンヽ!,　　 ',
　ヽ 　!　　　　 iヽ.　i　 |　/:.／´　　　 ｀ヽ:::::':,　　i
　　_,ノ　　　 　.,!:.:!　',　',ｲ:/　　　　　　　　';:::::i 　 i
　　　　 　 　 / !:.:|　rｋ''i:7　　　　　　　　　i:::::|. ,ﾊ!
　　　ツ　　 ,'　|:.:.!　/ ﾊ i　､ 　　　　　　　,:':::::!/::::':,
　　　　　　 i　 ﾚ'　/　,' k'.　 ヽ　　 　 ﾉ　ｲ:::::::!::::::::::ヽ.

わ からない事は上白沢先生に相談しよう
きっと答えてくれないが気休めにはなるぞ！

┌───────────────────────────
｜質問：
└───────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　,ﾍ　/|　　　　　 　ハクタクシステム　Ver.1.01b
iヽ　　　　　_,,,.......,,,,__　　 L_＞ｒ-‐ｧ
ヽ.｀ヽ､,. '" 　,.- ､　　 ｀ヽ.／ ./ヾ､」　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 ｀y'　　　　i::::::::', 　 　(´_,／　　　　 |　質問の答え：
　 /　i, i.,ﾒ､!,_!::::::!ﾊ !　i　ヽ. ',.　　　　 |
　ｲ　 ! ﾊ.ｧr!､|:::/　|_,!イﾊ　', i. 　 　 　|
　 ヽ､!ヽ!,!'!_ﾘ'ﾚ' ,ｫ'-'!､!::!　i　|.. 　　　 |
　　　 !::7" 　.　　 l.__り !:レi　| 　　 　 |
　　　 |::ﾍ､　rー-,　 "/!::::/:i　|　　　＜
　　　 |:::| i＞.､.,_ ,..イ /:::/　|　|　　 　 |
　 　　|:::|ｨ'/'´_!_／_r/::/ヽ､.|,.-!.　　　 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　 〈|::|ﾍ／ﾑ､　ｒ7:::/!　_i/　/|　　　　　　　　 　 ,-へ,　 , ﾍ
　　 ./'ﾚ7::::/ハ!ヽ､!/:::i｀ヾ_ i´ヽ!　　　/V|　　　　 ,ヽ_,_i=/__,」
　　〈　.､l､:::ﾚへ!:::::::::;:ｲヽ､__ヽ-'i. 　 / 　 i　　　　,'　　 ｀ｰ'　ヽ
　　　iヽ､!:::::::::::::::::::´〈i｀ヽ二ン｀|_,／　　/　　　　i <〈」iﾉﾊル.!〉
　　　|r'!ｨ'::/:::::::i:::::::::::ヽ､/|／-ﾚ' 　　／　　　　　i　L>ﾟ ｰ ﾟﾉiゝ
-‐''"´:::::/:::::::::::ﾊ::::::::::::::::＼-─ ''"´　　　　　　i>i ir^i ｀T´i'i |

The Baire category theorem about complete metric spaces, and its consequences, such as the open mapping theorem and the closed graph theorem.

　　　　　　　　　　　　　 ,..::'"´￣￣｀ヽ、　　　　　　　　　　　／　　 誰
　　　　　　　　　　 　 ／::::::::::::::::｀:::､::::::ﾊ　　　　　　　　 　 /　　　　ぞ
　　　　　　　　　　 .,:':､::::::::::::::::::::::::::::＼:::|　　　　　　　　　 |　　　　　：
　　　　　　　　　　/::::::＼::::::::::::::＿;;;;::::-┤　 　 　 　 　 　 |　　　　　：
　　　　　　　　　 /ｰ==ﾆ,＞─-､＿__:::::__|　　　　　 　 　 　'、　　 　 ：
　　　　　　 ,. -- '／｀ヾ´　 　 　 ＼　｀ヽ::!　　　　　　　　　　＼
　　 　　 ／　　 /　　 　＼　 　　 　 ヽ　　Y⌒ヽ-=＝=- ､　　　｀￣￣￣
　　　　/　　　　{　　　 .ﾄ､_｀ニ.、　　　 ,　 ﾊ　　 ∨ 　　　l|　　　　,. -──
　　 　 { 　 /　 |ﾄ 、　　|'´ ん「ﾊY 　 |　; 　 ';＼　 '; 　 　/　　　／　　　 .我
　　　　ゝ　|. 　T__ ＼　|　弋_zｿﾊ 　 |　|　　|　| `''┼＝＝==-､　　 ふ・ が
　　　　　.ｿ|　　|「lﾊ　ヽ| 　 ´ "" }　,ﾊ　|　　|　|. 　 | 　l| 　　　l」.　　と.・
　　　 ＜　; 　 八.り ,　　　　　　ﾉ,ｲ　ﾚ'　　 '　;　　 |　 ||　　　.| 　 　い・
　 　 　 ∠.,,_ｲ |　　　 , - ､ 　　 ./　|　 |　./　/　　 |　 ｌ」　 　 |　　　と
　　　　　　　 |人　　　'､　_）　／　 /　/／ , ' 　 　 |　　　　　 |　　　申
　　　　　　∠、　＞ 、　　　/　__イ.／´ ／,'　　 　 |　　　　　 |　　　し
　　　　　　　 {　/　／` ｰ 个´, -‐ ｀ヽ' 　/　,　 　 ;　 　 　 　 |　 　 た
　　　　　　　 ∨ﾚ'　　　_ｒ/／　　 　　 ＼'　/|　　./　　　　　　'、 　 か
　　　　 　 　 ,. -=＝=r':::7´ 　　　　　　　∨ ;　 ,.'　　　 　 　 　 ＼
　　　　　　 /　| 　　 く::/{　　　　　　　　　 ﾄ､／　　　　　　　　　　 ｀￣￣
　　　　　　l| 　 ､　　｀7　 ､　　　　　　 　　 ､ ＼
　　　　　　l|　　 ＼r'::｝ 　 |ﾄ､　　　　　 　 　　 　＼
　　　　 　 l」　 　　｀7　　 .||　＼　　　　　　　 　　　'ヽ、
　　　　　　　　　　 /　　 /　 /:::ム､_,,.. -─　､　　　} 　';
　　　　　　　　　 ./　　　{{　 {／　　　　　　　　　　,ｲ 　 }
　　　　　　　 　 / 　　__,.＞ ´ 　 　 　 　 　 　　, '　|　 /
　　　　　　　 ／　_ｒ「 l」　 　　　　　　　　 　 ／　　|／
　　　　　　 /　/´ | |　ｒ　　　　　　　　　　　　 　　/
　　　　　,rﾍ／ 　 | |　ｌ」　　　　　　　　 　 　 　／
　　　　 /　 {/　 __| |　　_　　　　　　　　　 　 /、
　　　　;　　 し'´　ヽヽ　| |　　　　　　　　 　./::::ヽ
　　 　 |　　　　　　| ﾄ､＼ 　　　　　　　　　/:::::::::::＼

A class hom(C), whose elements are called morphisms or maps or arrows. Each morphism f has a source object a and target object b.

　 　　　　　　　　 　　　_,,..　-─‐- ､.,_
　　　　　　　　　 ,　'"´　　　　 　　　　｀'ｒO ､　　 　　＿＿_(ヽ_＿＿
　　　　　　 　 ／　　　　　　　　　　　 　{､ヽ O　 　 └┐┌─┐┌┘
　　　　　 　 /　 　 .／　 　 ／|　　　　　 |--＼　　　 r┘└─┘└┐（] /7　　（ヽ　　 ＿＿__
　　　　　　 ,'　 　 /　 　 ／-‐'!　 , 　 　 / 　　､＼　 ｀二二l　l二二´ｒ‐‐' ,二l l二二ヽ└─ｧ/[l[l　
　　　　　　 |　 　 |　　 ./ｧ‐=,､|／|　 .／ﾊ.　 　 | rヽ └─┐┌─┘￣（（__　　　 　| |　　//_
　　　　　　 | 　 .八　 /ｲ!ﾉ　l| ヽ. |／|､/_,|　　　|/　　　　　.|__」　　　　　 ヽ┘　　　くノ　　ヽ┘
　　　　　　,'　／　（ヽ|'　ゝ‐ﾟ'　　 　 ｧ'!´Y| 　,　,'　　 ＿＿ｒ､＿＿
　　 　 　 / ´　 　 /ヽ　"　　　　 ,　lり ﾉ/.／ /　　 └┐┌┐┌┘　　　　
　　 　 ／ 　 　 ／ /人　　　　　　　　ﾞ/イ}／ 　　　l二＿￣＿二l　／> r‐'｀┐ｒ､　/7　ｒ､
　　　/ 　 　 ／ .／_7、＼　　 ｀　 　ノ＿r/|　　　　　 └┐┌┘　く く　 ｀7/_ｒ ヽ) | |_　|_」
　 　 |　　|　, '´￣＼　＼　＞‐ァ7て＿,ノ、|　　　　 　　 └┘　　 　＼>　｀(_ｄ､)　 ヽﾉ
　　　'､ 　∨　 　　　ヽ. 　＼_/ /＼ r'＿ノ},|.　　　　ｒ､　　 ｒ､　　　＿ｒ､＿
　　　　＼|| 　　　　 r |＼ ／∨|　/ﾄ､|　　ｿ　　 く） | | く） | |　ｒ､└,┌┐,┘ /7　ｒ､
　 　 　 　 |　_,,.. -‐ ヽ!　　　　ヽヾヽr-､イ_　　　　ｒ'_／l　 ヽ二ノに__￣_二l .| |_　|_」
　　　　 ｒ::"´::::::::::::::::_」　　　　　／（＼ ,ﾊ::]　　 　 く／ 　 　 |￣|└┐┌「｀! ┌┐
　　　　 l_,,... -‐ ''"´　'､　　 ＿/　　.|　 ヽ||　　　　　　　　　　|　 |　　￣../ └┘└─┐
　　　 　 ｀l　　 　 　 　 ＼/:::::::::｀ヽ人　　|ヽ.　　　　　 　　　/ 　 '、 　 く__/r'コ　l二"´
　　 　 　 .|　　　　　　 ／´￣｀ヽ;:::::＼｀ /:::::|　　　　 　 　, '　,.へ. ＼　　　└┐┌┘
　　 　 　/|　　　　　r/　　　　　　＼:::::Y:::::::∧ 　　　　　く_／　　 ＼__>　l二二...二二l

　 　　　　　　　　　　　　　　　 ,,. -‐─-- ､.,_　　　　　　　 　 ,'⌒ヽ
　　　　　　　　　　　　　　,　'´　　　　　　　　 ｀　 、　　　　　|　 　⌒ヽ
　　　　　　　　　　　　 ., '　　　 ,. -‐　　　　　 　 　＼　　　　!＿＿_.ノ
　　　　　　　　　　　　,' 　 　／　　 ／ ,　　　　　ｒ-o､ヽ.
　　　　　　　　　　　 /　 　/ 　　／__ /　　　　　 ヽ. o） ｀フ´
　　　　　　　　　 　, ' ／）r| 　 /ｧﾃ‐､!／|　　 ﾊ 　 Y　ﾊ´
　　　　　　　　　／ / ./-‐'､ ,八|　 ｒﾘヽ　!　 /　| 　 |　 |
　　　　　　　 ／ 　 !　ヽしﾉﾉ-､ ゝ‐'　 　 |／,､｀ｿ 　 ! ./
　　　　　　 / 　　__,|　　 ）　ﾉ'´|""　　 　　//,ﾊ'　 ./ﾚ'
　　　　　　,' 　.r/:::/　　 ,イ､　 |　　 ､ __´ `',.,∧／|
　　　　　　! ／|::::::|　 ／:::| |　/!＼ 　 　 　 ノ　 ｀rト- ､_
　　　　 ,.　'´　 ＼::＼:::::::.:| ﾚ'へ.　｀ｺTこ!´|｀>､_// 　 / !＼
　　　／ 　　　　　|::::::|::::::::|_|　　 ＼ /ﾑ./　ﾚ'| /:::|＼./　| __ ＞
　　/　　 　　 　　 ＼::＼:://＼ 　　/|::|＼/　 ヽ./|　（ﾟ_ﾟﾉ　
　　|　,!　　　　　　　/ヽ;::]/　　 ＼/　',:',.　 　 　 ∨　 ,ﾊ
　　| /　　　　　　　　　　 ||　　　　　　 ',ﾊ　　　　ﾉ ／　|
　　|/　　　　　 　　　 　 / 、 　　　　 　!::ト　　イ'、 　 /
　 /　　　　　　　　 　.／ﾄ､　　ｰ 　 ''"´|::|　　　 !　＼/_
　 !　　　　　　　　.／/＼＼ヽ.　 　 　　|::|　　　ﾊ　　　 ｀＞ 、
　 |＿＿,,.. -‐''"´|／　　 ヽ.`|　 　 　 　',:',　　　 ｀ヽ.__／::／｀ヽ
　　　　　　　　　　　　　　　.∧.　 　 　 　!::＼_＿__/::/ヽ/￣｀ヽ|
　　　　　　　　　　　　　　　,＼＼＿___／;::---─:::'´::::::::`::､ 　､j＼
　　　　　　　　　　　　　　 /::::::＼＿___／:::::/::::::::::::::::::::::::::::::＼_)　 ヽ.
　　　　　　　　　　　 　　 /::::::::::::::::::::::::::::::! /::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ. 　 ﾉ

　　　　　　 _,.-v⌒'「｀'r-､__
　　　　,.-「_,.!-､=,. -─- '､　ゝ､
　　 」´ゝ'´　　　　　　　　　｀ヽ!>ヽ,
　　」 /´　　　　　　　　､　　ヽ､!ｲ　',　
　 〈γ ｲ 　 ﾉ　i　 ､　─!-　　' ､ 　 ',　　
　　Y　/ .-/─ﾊ　 ﾊ,.!-=ﾐ､_ﾊ　 ｀ゝ i,
　　ﾉ /　ｲ_x=-､.ﾍﾉ´ ﾄ､_　|ゝiハｲ　 ﾊ､
　 ｲ　! /ﾊ!ｲﾄ､ i｀　　 ﾞ-ｰ''　/､ﾝ-,　　_ﾊ__　　_　　) ）
　　'ﾚiﾊ 　.!,,｀''´, 　　　　 ""iﾊﾉノ　と´__　｀ヽ､､
　　　　 !.从　　　､─ｧ　　 /ｲﾉ　i 　ﾊ r'､｀　　',i
　　 　ﾉｲﾝ i ゝ､. 　 ´　　,rYｲﾉ　ﾊ　/´ _　　 　 !
　　　〈/(y´ハ _i｀>.ｰ='i7Yﾉ´｀7_ゝ-し´rゝ､_,.イﾊ
　　　_,.(ﾝＶ rヽ ｀くヽ､,.ﾍｲﾍ_/フi　　7´ 　 　 　　!
　　 」ゝYｨ_iﾝ7 //ﾍ　/ゝﾊ_「ノｲ　　 ゝ/,.､__r､__,/
　　,.ｲiく_「,ｲ 〈ム､_ゝ　〈)iノ _ゝ!　　､　｀7ヽ､ 　i
　　 ﾉ〈)　Y　 └──'´　　　Yゝ､__,'r-/　 　　 i
　 ｲ 　､　ﾍ ､　　　､ヽ,　　　　ｲ_ハ　r'i､　　 　,ｲ

In many fields of mathematics, morphism refers to a structure-preserving mapping from one mathematical structure to another. The notion of morphism recurs in much of contemporary mathematics. In set theory, morphisms are functions; in linear algebra, linear transformations; in group theory, group homomorphisms; in topology, continuous functions, and so on.

Diagram: For categories C and J, a diagram of type J in C is a covariant functor D:Jightarrow C.

　 　　　　 　　ﾄ､.,__　　　　　　　 ／7'iヽ.　　　八雲　紫　　十七歳（自称）
　　　　　 　　|:::::!　｀ヽ､__,,....,,___!::::!　l:::|
　　　　　　 　';::::l‐ ''´|::|　 　 　/:::/-､|/　　　　　┬ l二l　ノ ﾉ￣i_,
　　　　　 ／　＼'､ 　 V　　　/／　／　｀ヽ.　　　土 l二l　イ -‐ｧ
　　　　 / 　､__ｒ-ヽ＞'￣`r‐'"ヽ!-'､､,__　　 ':,　　　 ノ　!_,　| _メ､__
　　 　　! r''「＞'-‐'"´￣￣ ｀ヽ､7_ゝ-､ノ ,　.i
　　　　r'Y´　／ _/l_　;　　　 ; __!_　｀ヽ､/ｰ､k_　　　 __l_____,!__　-‐ｧ　　--'--　 ﾉ-┼‐
　　　rく/　 ,'　´/ _」_,ﾊ　 　,ﾊ_」__｀ ',　 ヽ/　_」_　　　 !　 / 　--┼‐‐ __'三'__ 　 -┼‐
　　 「´7 　 i　 ｧ'i´ '｀!` ',　 /' i´ 'ﾊ`i !　　Y､___〉　　_,>く..__　　､ﾉ　　|　口　」　____|____
　　 `イ 　 ﾉﾚ,ﾊ. '､_,r!　 ﾚ'　　!,__り.ﾉ`ﾊ　ﾊ,.イ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（自称）
　　　 ﾉ　 )へ/ !"´　 　　 . 　　　｀"7ノレ' i　 `ヽ.
　　　´⌒ﾚ〉　! ﾍ. 　 　　._ _,.　　 　,ｲ 　',.　 '､ 　　｀':,
　　　　 ,./　ﾉ 　 ,!` :.､, 　 　 　 ,.イ /i,. -'‐'"`i ｀ヽ､　 ':,
　　　 ノ,'　〈　 r'__,,.イ i｀''＝ '"i.　ﾄ､/　 　　 i〉ヽ, !く{　 i
　　,:'　 ! 　 !ヽ(ﾍ!:::::'､`ヽ.__,. イ ./:::i　　　　/　く」ヽ　　i
　/　　ﾉ Y´:::::くﾝゝ:::::':､/ムヽ／:::;「ﾄ､,____,ﾊﾄ,　ﾚ'　 i　ﾊ
　!　 〈　 i､:;_::::/V':;::::::::Yl+lY::::::/:::!:ヽ､___i_ﾝ7　 　 ノ!〈　i
　',　　.) ﾊ:::::'':i:::::::::＞'::ヽ+l+ﾝ'::／!:::::::::::::!。i 　 ,:'´　!/_/
　　)' （ 　 ';:::::::ヽ;:::::＼::::::Y/:／:::::!::::::::::::::::::!　/　}＞!ﾍ_」
　くﾝく{ ヽ. .';::::::::::i｀::::::::ヽ:::!':::::::::::::!::::::::::::::::,' .,'　　ノ i
　　　　〉　!/i:::::::/::::::::::::::::Yo::::::::::::';:::::::::::::::i　iヽ. 〈／
　　　　　(l　|::::;:'`'':::::::::::::::l;o:::::::::::::ゝ､:;___ノ ,'　 '（
　　　　　　 ,ｧ'::::::::::::::::::::::;':::::::::::::::::::::::::!/`'（
　　　 _,,..;:'く::::::::::::::::::::::/i::::::::::::::::::::::::::;ゝ,
　r‐''"／　/ヽ､:;______/TL__________;;::イ .ハ
　|::::,:'　　,'　　　　i　　　!　　　　i　　　', 　 ':,
　|:,' 　　/　　　　 |　　　 ',　　 　:　　　 ':,　　ヽ.

　 　　　　 |　ヽ;::ヽ､.,__r-､__ン∠ 　｀ヽ.　.|　　：
　 　,,　　 |　'r-イ｀７-'‐‐'ヽ､__/､_７､_ !　|　　：
　体　　　|r'7-'"7´,　 i　　　ﾊ　　｀ヽ７ヽ|　　：
　 　 ｼ　 .| Y´　i -ﾉ‐i'ﾊ　　i‐!-- i 　 iヽ.| 　 ま
　験　　　|　|　/|,rr‐-!､!　/,!-r'tﾊ 　 | | |.　 だ
　"　　　 .| ﾉノ　'ﾚ!'ゞ-' ﾚ' 　ゞ-'ﾝiﾍ,ｲ　!|　　　,,
　ら.　　　＞ノ　! ﾊ, 　　_'___ 　 ,ハ　| .∠　 神 ｽ
　な　 　 .|　,!ｲ! |_,.| ＞､,｀_´.イi.|　|　|.　 |　 隠 ｷ
　い　　　| /　,.'- ､|'"´!ﾊ´_ﾊ＞|　ﾄ､_!　i.|. 　し ﾏ
　ん　　　|7 ｧ| ﾆ　ﾌﾍゝ,/ヽノイ|/:::::｀ヽﾊ|　"．
　だ　　　| /:::| ｺ　i':::::::::(ハ)::::::}><{:::::::::::'!　 ：
　？　　 / ゝ;:| ｯ　|､:;_::::/ﾑヽ::::::ﾑｲ::::::::;:ｲヽ､____
　　　.／ﾊｒ'7､ゝ-ｧﾊ､::::::::￣:::::::::ﾊ!ﾍくr'　', -‐､
-‐ '" .ノ／　 ／,rｲヽ､二V二'ン'＾ゝ､ﾉヽ　ヽ.ノﾉ

The notion of cardinality, as now understood, was formulated by Georg Cantor, the originator of set theory, in 1874–1884. Cardinality can be used to compare an aspect of finite sets; e.g. the sets {1,2,3} and {4,5,6} are not equal, but have the same cardinality, namely three (this is established by the existence of a one-to-one correspondence between the two sets; e.g. {1->4, 2->5, 3->6}).

Using König's theorem, one can prove κ < κ^cf(κ) and κ < cf(2^κ) for any infinite cardinal κ, where cf(κ) is the cofinality of κ.