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　　　　ゝ　|. 　T__ ＼　|　弋_zｿﾊ 　 |　|　　|　| `''┼＝＝==-､　　 ふ・ が
　　　　　.ｿ|　　|「lﾊ　ヽ| 　 ´ "" }　,ﾊ　|　　|　|. 　 | 　l| 　　　l」.　　と.・
　　　 ＜　; 　 八.り ,　　　　　　ﾉ,ｲ　ﾚ'　　 '　;　　 |　 ||　　　.| 　 　い・
　 　 　 ∠.,,_ｲ |　　　 , - ､ 　　 ./　|　 |　./　/　　 |　 ｌ」　 　 |　　　と
　　　　　　　 |人　　　'､　_）　／　 /　/／ , ' 　 　 |　　　　　 |　　　申
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　　　　　　　 {　/　／` ｰ 个´, -‐ ｀ヽ' 　/　,　 　 ;　 　 　 　 |　 　 た
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　　　　　 /　　　　 .ゝ､___,,.イ-'ｰﾍ-く　　　､':､ 　 　　 　　　;
　　　　　,' 　　　／　　 /___」　 　└--ヽ.　 　 ヽ.　　　　 　l〉
　　　 　 !　　　/ 　 /　　/　　 ,　 i　　i　　 ',　 　',　　　　i
　　　　 .!　　 ,' 　 ,'　　 ,'　　 /i　 !　 _!_ !　 !　　 ,ゝ　　　ﾄ､ 。
　　　　 i.　　 i 　 i　　ｰﾄ-=/､ |　ﾊ ´ﾊ_」､ ﾊﾍ.___!　 　 ノ ﾊ
　　　　 |　　└r-|___/ｧ'ｰ='ｒ-､ﾚ' └'i´ﾘ !/　Y 　 _　 （ ( 　ﾝ
　　　　 !　　　.(|　!　!ﾍ､_cﾝ　　　　　ゞ' '! 　　':,∠」　　`ｰ'
　 ｒ-､　i　　　i .! 　　!,,,｀￣　　　　,　　"人　ヽ.,>　　　/｀i
　 Lﾆゝi] |　　!ﾊ　　 ',､　　 　 ｒ-‐ｧ　／､_,ﾍ__/` '' ｰ-i　 |　 ｒ‐ｧ
　　　　|　!　/ 　'､! 　 ':, ＞ .､.,,__,,.イ´￣`ヽ.　ヽ､　 　 ! 　ﾄ､,ﾚ'____
　　　 ﾉ!　! ,' ン'^ヽ､__r'＼　 >､/_」　ヽ.､　 ':,　　i´ヽ.　!　,.へ　　＜￣｀ヽ､.,_
　　 }＞|],!ｧ''"´ ^ヽ.､ 　　　ヾ､_rﾍ.」 　 ';!　　〉､　',　 ｀Y 　／ヽ. 　 ｀ヽ.　　____
_　 /　ﾉ/ 　　　　 　',ヽ,　　　　 　 ', o　　` ､ｧへ　ヽ.　!／ ／´ 〉　　　 Y´ヽ､」
_,>ｲ ,'./ 　　　　　 　 !:i 　 　 　 　　:　　　　 Y´ ヽ.rﾍ　`ｰﾍ._,.ｨi　　　　　i
　 i　i !____i　 　 　 　ﾊ::!.　　　　　 　.!o　 　　i　　 ,ﾄ､_>ｰ､___,.イ　　　i　　!
　 ',　7'´￣｀ヽ､__,.:'"､!ﾊ　　　 　 　 .' 　　　ノ　　 i　　` ｰ-ｒ‐〈　　　 ﾊ　 |
　　'ｧ 　　　　　`/ハ 　';`:..､.,__,　　' i o　´ﾄ､　　/!　　　　　　 i　　 /　|　,'
　 /　　　_　___,:'_ i　', 　';:',　　　　　:　　　 l|　ヽ. ! !　　　　　　,'　／　　i〈
. 〈　　　'"´　　 ￣77'ｰ'､::!　　　　_」,.､_,,.イｧ､　ゝ､　　　　　 /　〈

Just in case anyone hasn't already heard: TH14 has been announced, surprising absolutely no one. As this is ostensibly a Touhou themed board, I thought it might be appropriate that there be at least one thread about this.

Number of foreigners claiming UK benefits leaps 41% in 5 years: More than 400,000 now handed payouts that cost taxpayers billions each year

 What sort of personality traits do you like best for a loli?

ポーター兼ガイドらしき若者が二人付き添ってたようだね
さすがにガイド二人入れば大丈夫でしょ
大キレットでも行けるよ

　 　　　　　　　 　　_r-､
　　　　 　 　_ｒ‐-'´::|:::/───- ､.,
　　　　 　 く:::＼:::::::|/-───- ､ 　｀ヽ.　　／）
　（＼　　 ／＼＿_」'　　　　　　 　 ヽ.　　' ,
　　　 。,.'　　.／　 /　　　　　　　　　　':, 　 ',　　つ　　目を離すとすぐ
　⊂ 　/　　/　/__ !　,ﾊ　　ﾊ.ｰ|-ﾊ 　 　∨　i　っ　　　えっちな方向に話が行くんだから！
　　　 ,' 　 .,'　,'　._」_/　|__/ ｧ;==､く!　 　 |. 　!
　　　 |　　.|　|'7´;'´ﾊ　　　　i　 ﾊ. |　　 / 　 |　 |　ｰ┼　 _」
　　　 |.　　|　| 、j__,り 　 　　ゝ‐┴|__／ | 　 |　 |　　_| 　 /|'⌒ヽ
　　 　 ､＿＼| ///　　 '　　 　/// ,ﾊ 　 ! 　 !　 ﾚ （_ﾉヽ '´|　 _.ﾉ わ ・　・ ・
　　　　　　 |｀7、 　 ｒｧｰ ￣｀ヽ 　ｒ' ､|　 |　/.|
　 　 o 　　 /／）、　 ｰ-　＿,ｿ ,(＼ ＼/イﾚ'
　　　　　　,'　 // l.＞.､,___,.　イ ,ﾊ　ヽ　Y　　　　　　　　　　　　　　○
　　 　 　　| 　 )'´ﾉ-ｧ‐::'7　　/ ￣!　　　.|　　　 Ｏ 。　, 　-─-　、
　　　 　　 | 　 イ´/:::::::/|__／ 　 人　 　 | 、　　 　 ／　　　　 　　 ヽ.
　　　 　　/ 　 !' 7::}￣ヽrr'´￣{/|::::｀!　　|　':,　　 /　　　　　　　 　 　 ',
　　 　　./　 　| ,'::::L＿ｱﾊ＿_」 /::::/|　 　',　}.　　l　/// 　　　///　　 |
　　　　,' 　 　 | l:::::く＿//|＿_>':::::::| |　 　 ∨ 　　 、　　 　 　 　 　 　 ,'
　　　 ,'　 　　,'/|:::::::::::::!o::::::::::r=t::::｀| 　 　 ||.　 　　＼　　　　　　　　/
　　 　!　　　/´/:::::::::::::|:::::::::::::::::::::::::::'､　 　.ﾘ　 　　　 ,＞- 　　 　 ／
　 　　ヽ-‐'　./::::::::::::::::!o::::::::::::::::::::::::::|` ｰ'　 　 　 ／　　,.　-‐''"´
　　　　　　 ,く::::::::::::::::/|:::::::::::::::::::::::::::::ヽ 　　　　 /　 　 （　　　ノ）

　　　　　　　　　　　　　 ,..::'"´￣￣｀ヽ、　　　　　　　　　　　／　　 誰
　　　　　　　　　　 　 ／::::::::::::::::｀:::､::::::ﾊ　　　　　　　　 　 /　　　　ぞ
　　　　　　　　　　 .,:':､::::::::::::::::::::::::::::＼:::|　　　　　　　　　 |　　　　　：
　　　　　　　　　　/::::::＼::::::::::::::＿;;;;::::-┤　 　 　 　 　 　 |　　　　　：
　　　　　　　　　 /ｰ==ﾆ,＞─-､＿__:::::__|　　　　　 　 　 　'、　　 　 ：
　　　　　　 ,. -- '／｀ヾ´　 　 　 ＼　｀ヽ::!　　　　　　　　　　＼
　　 　　 ／　　 /　　 　＼　 　　 　 ヽ　　Y⌒ヽ-=＝=- ､　　　｀￣￣￣
　　　　/　　　　{　　　 .ﾄ､_｀ニ.、　　　 ,　 ﾊ　　 ∨ 　　　l|　　　　,. -──
　　 　 { 　 /　 |ﾄ 、　　|'´ ん「ﾊY 　 |　; 　 ';＼　 '; 　 　/　　　／　　　 .我
　　　　ゝ　|. 　T__ ＼　|　弋_zｿﾊ 　 |　|　　|　| `''┼＝＝==-､　　 ふ・ が
　　　　　.ｿ|　　|「lﾊ　ヽ| 　 ´ "" }　,ﾊ　|　　|　|. 　 | 　l| 　　　l」.　　と.・
　　　 ＜　; 　 八.り ,　　　　　　ﾉ,ｲ　ﾚ'　　 '　;　　 |　 ||　　　.| 　 　い・
　 　 　 ∠.,,_ｲ |　　　 , - ､ 　　 ./　|　 |　./　/　　 |　 ｌ」　 　 |　　　と
　　　　　　　 |人　　　'､　_）　／　 /　/／ , ' 　 　 |　　　　　 |　　　申
　　　　　　∠、　＞ 、　　　/　__イ.／´ ／,'　　 　 |　　　　　 |　　　し
　　　　　　　 {　/　／` ｰ 个´, -‐ ｀ヽ' 　/　,　 　 ;　 　 　 　 |　 　 た
　　　　　　　 ∨ﾚ'　　　_ｒ/／　　 　　 ＼'　/|　　./　　　　　　'、 　 か
　　　　 　 　 ,. -=＝=r':::7´ 　　　　　　　∨ ;　 ,.'　　　 　 　 　 ＼
　　　　　　 /　| 　　 く::/{　　　　　　　　　 ﾄ､／　　　　　　　　　　 ｀￣￣
　　　　　　l| 　 ､　　｀7　 ､　　　　　　 　　 ､ ＼
　　　　　　l|　　 ＼r'::｝ 　 |ﾄ､　　　　　 　 　　 　＼
　　　　 　 l」　 　　｀7　　 .||　＼　　　　　　　 　　　'ヽ、
　　　　　　　　　　 /　　 /　 /:::ム､_,,.. -─　､　　　} 　';
　　　　　　　　　 ./　　　{{　 {／　　　　　　　　　　,ｲ 　 }
　　　　　　　 　 / 　　__,.＞ ´ 　 　 　 　 　 　　, '　|　 /
　　　　　　　 ／　_ｒ「 l」　 　　　　　　　　 　 ／　　|／
　　　　　　 /　/´ | |　ｒ　　　　　　　　　　　　 　　/
　　　　　,rﾍ／ 　 | |　ｌ」　　　　　　　　 　 　 　／
　　　　 /　 {/　 __| |　　_　　　　　　　　　 　 /、
　　　　;　　 し'´　ヽヽ　| |　　　　　　　　 　./::::ヽ
　　 　 |　　　　　　| ﾄ､＼ 　　　　　　　　　/:::::::::::＼

There is a transfinite sequence of cardinal numbers:
    0, 1, 2, 3, ..., n; ℵ₀, ℵ₀, ℵ₁, ... ℵ_α, ...

　 　　　　　　　 　　_r-､
　　　　 　 　_ｒ‐-'´::|:::/───- ､.,
　　　　 　 く:::＼:::::::|/-───- ､ 　｀ヽ.　　／）
　（＼　　 ／＼＿_」'　　　　　　 　 ヽ.　　' ,
　　　 。,.'　　.／　 /　　　　　　　　　　':, 　 ',　　つ　　目を離すとすぐ
　⊂ 　/　　/　/__ !　,ﾊ　　ﾊ.ｰ|-ﾊ 　 　∨　i　っ　　　えっちな方向に話が行くんだから！
　　　 ,' 　 .,'　,'　._」_/　|__/ ｧ;==､く!　 　 |. 　!
　　　 |　　.|　|'7´;'´ﾊ　　　　i　 ﾊ. |　　 / 　 |　 |　ｰ┼　 _」
　　　 |.　　|　| 、j__,り 　 　　ゝ‐┴|__／ | 　 |　 |　　_| 　 /|'⌒ヽ
　　 　 ､＿＼| ///　　 '　　 　/// ,ﾊ 　 ! 　 !　 ﾚ （_ﾉヽ '´|　 _.ﾉ わ ・　・ ・
　　　　　　 |｀7、 　 ｒｧｰ ￣｀ヽ 　ｒ' ､|　 |　/.|
　 　 o 　　 /／）、　 ｰ-　＿,ｿ ,(＼ ＼/イﾚ'
　　　　　　,'　 // l.＞.､,___,.　イ ,ﾊ　ヽ　Y　　　　　　　　　　　　　　○
　　 　 　　| 　 )'´ﾉ-ｧ‐::'7　　/ ￣!　　　.|　　　 Ｏ 。　, 　-─-　、
　　　 　　 | 　 イ´/:::::::/|__／ 　 人　 　 | 、　　 　 ／　　　　 　　 ヽ.
　　　 　　/ 　 !' 7::}￣ヽrr'´￣{/|::::｀!　　|　':,　　 /　　　　　　　 　 　 ',
　　 　　./　 　| ,'::::L＿ｱﾊ＿_」 /::::/|　 　',　}.　　l　/// 　　　///　　 |
　　　　,' 　 　 | l:::::く＿//|＿_>':::::::| |　 　 ∨ 　　 、　　 　 　 　 　 　 ,'
　　　 ,'　 　　,'/|:::::::::::::!o::::::::::r=t::::｀| 　 　 ||.　 　　＼　　　　　　　　/
　　 　!　　　/´/:::::::::::::|:::::::::::::::::::::::::::'､　 　.ﾘ　 　　　 ,＞- 　　 　 ／
　 　　ヽ-‐'　./::::::::::::::::!o::::::::::::::::::::::::::|` ｰ'　 　 　 ／　　,.　-‐''"´
　　　　　　 ,く::::::::::::::::/|:::::::::::::::::::::::::::::ヽ 　　　　 /　 　 （　　　ノ）

(κ ≤ μ) → (κ^ν ≤ μ^ν).

 It is therefore assumed by physicists that no measurable quantity could have an infinite value, for instance by taking an infinite value in an extended real number system, or by requiring the counting of an infinite number of events.

　　　　　　　　　　　　　 ,..::'"´￣￣｀ヽ、　　　　　　　　　　　／　　 誰
　　　　　　　　　　 　 ／::::::::::::::::｀:::､::::::ﾊ　　　　　　　　 　 /　　　　ぞ
　　　　　　　　　　 .,:':､::::::::::::::::::::::::::::＼:::|　　　　　　　　　 |　　　　　：
　　　　　　　　　　/::::::＼::::::::::::::＿;;;;::::-┤　 　 　 　 　 　 |　　　　　：
　　　　　　　　　 /ｰ==ﾆ,＞─-､＿__:::::__|　　　　　 　 　 　'、　　 　 ：
　　　　　　 ,. -- '／｀ヾ´　 　 　 ＼　｀ヽ::!　　　　　　　　　　＼
　　 　　 ／　　 /　　 　＼　 　　 　 ヽ　　Y⌒ヽ-=＝=- ､　　　｀￣￣￣
　　　　/　　　　{　　　 .ﾄ､_｀ニ.、　　　 ,　 ﾊ　　 ∨ 　　　l|　　　　,. -──
　　 　 { 　 /　 |ﾄ 、　　|'´ ん「ﾊY 　 |　; 　 ';＼　 '; 　 　/　　　／　　　 .我
　　　　ゝ　|. 　T__ ＼　|　弋_zｿﾊ 　 |　|　　|　| `''┼＝＝==-､　　 ふ・ が
　　　　　.ｿ|　　|「lﾊ　ヽ| 　 ´ "" }　,ﾊ　|　　|　|. 　 | 　l| 　　　l」.　　と.・
　　　 ＜　; 　 八.り ,　　　　　　ﾉ,ｲ　ﾚ'　　 '　;　　 |　 ||　　　.| 　 　い・
　 　 　 ∠.,,_ｲ |　　　 , - ､ 　　 ./　|　 |　./　/　　 |　 ｌ」　 　 |　　　と
　　　　　　　 |人　　　'､　_）　／　 /　/／ , ' 　 　 |　　　　　 |　　　申
　　　　　　∠、　＞ 、　　　/　__イ.／´ ／,'　　 　 |　　　　　 |　　　し
　　　　　　　 {　/　／` ｰ 个´, -‐ ｀ヽ' 　/　,　 　 ;　 　 　 　 |　 　 た
　　　　　　　 ∨ﾚ'　　　_ｒ/／　　 　　 ＼'　/|　　./　　　　　　'、 　 か
　　　　 　 　 ,. -=＝=r':::7´ 　　　　　　　∨ ;　 ,.'　　　 　 　 　 ＼
　　　　　　 /　| 　　 く::/{　　　　　　　　　 ﾄ､／　　　　　　　　　　 ｀￣￣
　　　　　　l| 　 ､　　｀7　 ､　　　　　　 　　 ､ ＼
　　　　　　l|　　 ＼r'::｝ 　 |ﾄ､　　　　　 　 　　 　＼
　　　　 　 l」　 　　｀7　　 .||　＼　　　　　　　 　　　'ヽ、
　　　　　　　　　　 /　　 /　 /:::ム､_,,.. -─　､　　　} 　';
　　　　　　　　　 ./　　　{{　 {／　　　　　　　　　　,ｲ 　 }
　　　　　　　 　 / 　　__,.＞ ´ 　 　 　 　 　 　　, '　|　 /
　　　　　　　 ／　_ｒ「 l」　 　　　　　　　　 　 ／　　|／
　　　　　　 /　/´ | |　ｒ　　　　　　　　　　　　 　　/
　　　　　,rﾍ／ 　 | |　ｌ」　　　　　　　　 　 　 　／
　　　　 /　 {/　 __| |　　_　　　　　　　　　 　 /、
　　　　;　　 し'´　ヽヽ　| |　　　　　　　　 　./::::ヽ
　　 　 |　　　　　　| ﾄ､＼ 　　　　　　　　　/:::::::::::＼

Each set in this hierarchy is assigned (by transfinite recursion) an ordinal number α, known as its rank. The rank of a pure set X is defined to be the least upper bound of all successors of ranks of members of X.

Many discussions of "classes" in the 19th century and earlier are really referring to sets, or perhaps to a more ambiguous concept.

　　　　　　 _,.-v⌒'「｀'r-､__
　　　　,.-「_,.!-､=,. -─- '､　ゝ､
　　 」´ゝ'´　　　　　　　　　｀ヽ!>ヽ,
　　」 /´　　　　　　　　､　　ヽ､!ｲ　',　
　 〈γ ｲ 　 ﾉ　i　 ､　─!-　　' ､ 　 ',　　
　　Y　/ .-/─ﾊ　 ﾊ,.!-=ﾐ､_ﾊ　 ｀ゝ i,
　　ﾉ /　ｲ_x=-､.ﾍﾉ´ ﾄ､_　|ゝiハｲ　 ﾊ､
　 ｲ　! /ﾊ!ｲﾄ､ i｀　　 ﾞ-ｰ''　/､ﾝ-,　　_ﾊ__　　_　　) ）
　　'ﾚiﾊ 　.!,,｀''´, 　　　　 ""iﾊﾉノ　と´__　｀ヽ､､
　　　　 !.从　　　､─ｧ　　 /ｲﾉ　i 　ﾊ r'､｀　　',i
　　 　ﾉｲﾝ i ゝ､. 　 ´　　,rYｲﾉ　ﾊ　/´ _　　 　 !
　　　〈/(y´ハ _i｀>.ｰ='i7Yﾉ´｀7_ゝ-し´rゝ､_,.イﾊ
　　　_,.(ﾝＶ rヽ ｀くヽ､,.ﾍｲﾍ_/フi　　7´ 　 　 　　!
　　 」ゝYｨ_iﾝ7 //ﾍ　/ゝﾊ_「ノｲ　　 ゝ/,.､__r､__,/
　　,.ｲiく_「,ｲ 〈ム､_ゝ　〈)iノ _ゝ!　　､　｀7ヽ､ 　i
　　 ﾉ〈)　Y　 └──'´　　　Yゝ､__,'r-/　 　　 i
　 ｲ 　､　ﾍ ､　　　､ヽ,　　　　ｲ_ハ　r'i､　　 　,ｲ

But some subsets of the real numbers do not have least elements. For example, the open interval (0,1) does not have a least element: if x is in (0,1), then so is x/2, and x/2 is always strictly smaller than x. So this attempt also fails.

    If S is a set of sentences of first-order logic and B is a consistent subset of S, then B is included in a set that is maximal among consistent subsets of S. The special case where S is the set of all first-order sentences in a given signature is weaker, equivalent to the Boolean prime ideal theorem; see the section "Weaker forms" below.

　　　　　　　　　!^ヽ､__,ﾍ　　　　　/ヽ､.,__,.､
　　　　　　　　 / ,.ﾍ　ヽ. !-─- ､//ｰ--,／ｧ
　　　　　　　 く く 　 ゝ､ ﾊ､　　 // / ／／
　　　　　　 ／ ｀ヽ. ヽ ヽ､_,>rｧ'//_／／｀ヽ.　　　　　　　:
　　　　　 /　　　　 .ゝ､___,,.イ-'ｰﾍ-く　　　､':､ 　 　　 　　　;
　　　　　,' 　　　／　　 /___」　 　└--ヽ.　 　 ヽ.　　　　 　l〉
　　　 　 !　　　/ 　 /　　/　　 ,　 i　　i　　 ',　 　',　　　　i
　　　　 .!　　 ,' 　 ,'　　 ,'　　 /i　 !　 _!_ !　 !　　 ,ゝ　　　ﾄ､ 。
　　　　 i.　　 i 　 i　　ｰﾄ-=/､ |　ﾊ ´ﾊ_」､ ﾊﾍ.___!　 　 ノ ﾊ
　　　　 |　　└r-|___/ｧ'ｰ='ｒ-､ﾚ' └'i´ﾘ !/　Y 　 _　 （ ( 　ﾝ
　　　　 !　　　.(|　!　!ﾍ､_cﾝ　　　　　ゞ' '! 　　':,∠」　　`ｰ'
　 ｒ-､　i　　　i .! 　　!,,,｀￣　　　　,　　"人　ヽ.,>　　　/｀i
　 Lﾆゝi] |　　!ﾊ　　 ',､　　 　 ｒ-‐ｧ　／､_,ﾍ__/` '' ｰ-i　 |　 ｒ‐ｧ
　　　　|　!　/ 　'､! 　 ':, ＞ .､.,,__,,.イ´￣`ヽ.　ヽ､　 　 ! 　ﾄ､,ﾚ'____
　　　 ﾉ!　! ,' ン'^ヽ､__r'＼　 >､/_」　ヽ.､　 ':,　　i´ヽ.　!　,.へ　　＜￣｀ヽ､.,_
　　 }＞|],!ｧ''"´ ^ヽ.､ 　　　ヾ､_rﾍ.」 　 ';!　　〉､　',　 ｀Y 　／ヽ. 　 ｀ヽ.　　____
_　 /　ﾉ/ 　　　　 　',ヽ,　　　　 　 ', o　　` ､ｧへ　ヽ.　!／ ／´ 〉　　　 Y´ヽ､」
_,>ｲ ,'./ 　　　　　 　 !:i 　 　 　 　　:　　　　 Y´ ヽ.rﾍ　`ｰﾍ._,.ｨi　　　　　i
　 i　i !____i　 　 　 　ﾊ::!.　　　　　 　.!o　 　　i　　 ,ﾄ､_>ｰ､___,.イ　　　i　　!
　 ',　7'´￣｀ヽ､__,.:'"､!ﾊ　　　 　 　 .' 　　　ノ　　 i　　` ｰ-ｒ‐〈　　　 ﾊ　 |
　　'ｧ 　　　　　`/ハ 　';`:..､.,__,　　' i o　´ﾄ､　　/!　　　　　　 i　　 /　|　,'
　 /　　　_　___,:'_ i　', 　';:',　　　　　:　　　 l|　ヽ. ! !　　　　　　,'　／　　i〈
. 〈　　　'"´　　 ￣77'ｰ'､::!　　　　_」,.､_,,.イｧ､　ゝ､　　　　　 /　〈

"Tarski tried to publish his theorem [the equivalence between AC and 'every infinite set A has the same cardinality as AxA', see above] in Comptes Rendus, but Fréchet and Lebesgue refused to present it. Fréchet wrote that an implication between two well known [true] propositions is not a new result, and Lebesgue wrote that an implication between two false propositions is of no interest".

such that the following two properties hold:



    For every object x in C, F(1x) = 1F(x);

    For all morphisms f : x → y and g : y → z, F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).

　 　　　　　　　　　　　　　　　　 /＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾊ 　 ヽ　　　　　　,.. ‐ｧ
　　　　　　　　　　　　　　　　 ;':::} 　　 `￣｀ﾞ' ＜ 　/! 　 ＿__ ヽヽ
　　　　　　　 |ヽ　　　　　　 /'´　／／　　　　　｀ヾ:ﾘ　　　 /
　　　　　　　_|　）　 　　　ｒ‐ ､　/_ /メ､,'　　;　　　 ﾊ　　／＼　　　　　ヽ　
　　　　　　（_ﾉ　　　　　　}:::ｧlｧ'´::{|_」_ |　_/!　,'_　;　}　　　　　　　　　　＿.ノ
　　　　　　　　　　　　　　｀7rム」{ｲん }｀ヽ |_/_l_/ /　　　　　　　 /＼
　　　　　　　　　　　　　 _ノ_ﾉ　ｒｒl　ゝ '　　　ｆ} }lイ{　　　　　　 __/ 　　＼
　　　　　　　　　　　 , '´ノ´　＼｀ﾍ"　　､ _　｀ﾞﾘ ∨ヽ、　 　 （_ノ　　　 ./
　　　　　　　　　　　/イ 　　　　_ヽ}、 ､.,___,. イ　　＼ ﾊ　　　　 　　 __/
　　　　　　　　　 }＞ｒK{　　 ,.:'´:::::::ヽヽくヽr'｀ｰ､　 　 ヽ}ﾍ　　　　 (_ノ
　　　　　　,. -‐- ､ {_,.ゝ　 　{:::::::::::::::}::Y／＼ 　ﾉ　　く_,ﾑ´
　　　　　　し'⌒ヽ ＼　 　　　}｀::ｰイ::／＼:::::X´　　　　ﾉ」
　　　　　　　,　',二.ヽ.＼　 　 {::::::::／::::::::::ﾝl´ 　　　　ヽ
　　　　　 ／／　 　＼＼ヽ. ｒﾍ;::::'::::::::::／{ｒlﾆヽ.　　}　 |
　　　　　.{_/　　 r-へ_,,..:::'´{:::::ヽ:;_;;::イ:::八にノ　 ノ　/
　　　/　　　　 r' ノ:::／:::::::::::'､:::::::::::::::::::::::/:ヽ　　　／　　　＿__ ヽヽ
　 i　{　　　　ノ/::::::´:::::::::::::::::::::ヽ:::::::::::::／:::::::::':,　　　　　　　　 /
　 ',　､　　 く　{:::::::::::::::::/::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::ヽ、　　　　 ／＼　　　ヽ
　　ヽ、　　　}ハ::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: i::::::::::ﾑ　　　　　　　　　　 ＿.ノ
　　　　　　　L_　ヽ;::::;::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::l:::::::/ }
　　　　　　　 　｀ヽ ヽ;::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::l:::ノ r'
　　　　　　　　　　L__.＞--‐'"´￣ヽ--‐ｧ'"´_ｒ‐'´
　　　　　　　　　　ヽｒ- '´7 ´￣｀ヽ--‐'ｒ‐''´|
　　　　　　　　　 　 .|　　;'　　　　 　　　|`::ｰ|
　　　　　　　　　　　}､___{　　　　　 　　 ト--{
　　　　　　　　　　　|::}Xﾑ　　　　　　　ﾉ:}k{::}
　　　　　　　　　　　l::ヽ-':}　　　　　　 {:::::::::」
　　　　　　　　　　　｀ ￣´　　　　　　　｀￣´

Note that while every isomorphism is a bimorphism, a bimorphism is not necessarily an isomorphism. For example, in the category of commutative rings the inclusion Z → Q is a bimorphism that is not an isomorphism. However, any morphism that is both an epimorphism and a split monomorphism, or both a monomorphism and a split epimorphism, must be an isomorphism. A category, such as Set, in which every bimorphism is an isomorphism is known as a balanced category.

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　ﾄ､
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ）_＞ｧ‐-､　 _,,.. -‐ｧ
　　　　　　　　　　　　　　　_,,.. -─'--'..､..,,_i7´､ヽン´
　　　　　　　　　　　　　 ;'´::;;:: -─- ､.,__:::::::｀"'＜
　　　　　　　　　　　　 r'ｧ''"´￣￣￣｀"' ｀､ヽ､:::::::｀ヽ.
　　　　　　　　　　　 ,.'´　　　　　　　　　　　 ｀ヽ.､:;:::::::',
　　　　 ,'"´￣￣　　!　 , '　_,!_　/!　　! 　 ;　　 　 ',.､ヽ;ﾉ
.　　　　 '､ 　,'´￣　 ',　!　/ ,」_/　',　,ﾊ _/!__ ,'!　　 i　Y
　　　　　　　　　　 　 V| /7'i　!'`ｒ V 　ﾚ'_」_/｀!　 ,ﾊ　i
　　　　　　　　　　 ,ﾄ､｀ヾこ!'､ !_ﾘ　　 　'i　 ｀!Y!イ　　 !　　__,ノ
　　　　　　　　　　 r7ヽ,/ 7"' 　 　' 　 　'､_り,ﾉ　にフ !
　　　 　　 　 ___　 ｿ!　 ;'　,ゝ､ 　 i7￣） 　"''/　　;　,ﾊ,!　　 __,,.. -‐ｧ
　　, -‐‐-ｧ'´　 ｀ヽ!ゝ､ﾚi／!,ｿ｀＞ｧ--r =''7　 ／ﾚ'__,!-‐､,_） r‐＜
　　しﾍ. //　　 ｀"''｀'-‐ｧ'"´７´ヽム_ノi ／ﾚ'´ ｀ヾr'"i´ヽ._,.ｲ_,ン´
　 ﾉ 　,と!! 　　　　　 　」 　./::}>oく{ヽ／::::/　　　　_'､.,!__,!＞'´-―-､
　　　　　|! 　　　　　　　ヽ.;':::ノ´:::::::::::::::::;'　　　　 ／　　　　／´￣ ｀ヽ.
　　　　　'､　　　　　　　／!oく{::;'::::::::::::::::!､　　　 7　　　　,（__,.-､ ヽヽヽ)
　　　　　　ヽ､__,,.. -‐''´　 !:::::::::!/:::::::::::::ﾊ､｀'' ｰ-､　　　'´　| !:::::ヽ､)_ﾉノ
　　　　　　　　　　　　　 ,ｲ:::／::::::::';::::::::ヾへ.　　　ヽ.　　　 ! ';::::::::::ｿノ!
　　　　　　　　　　　 ／/イ::::::::::::::ﾊ::::::}>oく{::ヽ. 　　 ヽ､.,___'､ヽ---' /　 ､
　　　　　　'､,__　　,.:':::::;'::::::::::::::::::::::::';:::::ソ:::::::::::::::':.､　　　　　 ｀''ー‐'´__,.ノ　 i
　　　　　　 　 　 /:::::::;::::::::::::::::::}>oく{'´::::::::':;::::::ヽ;:::::ヽ.　　　　　　　､.,_______ノ     　　　　i⌒ヽ 　　　　　_ _人_ _　　　　 　　　　　　 7ヽ,.__
　　　　|　　|　　 , ‐､　　｀Y´　 　　　　 　 ,.. -─-'＜:::メ´￣＞
　　　　'､　 '､ 　 !　 |　　　　　　　　 　 ／:::::::::::::::::::::::::｀'::＜´ 　 　 　 　 |
　　　　/´ ￣｀.ｿ 　 !　　　　　　 _ノ´￣｀ヽ､＿＿_::::::::::::::::::｀ヽ、　　─ ┼ ‐
　　　　!_,.-‐＜,　　 |　　　　　　{／´￣`ー---- ､｀ヽ､＿::::::::::::',　　　　 !
　　　　{　 ＿_ｿ､　 ,ﾊ　　　　　/　 ./　　 ,　　, 　　` ｰ- ､｀ヽ:::::::!
　　　　 ヽ＿_ﾉ　ヽ// ＼ﾄ.､　｜　 | 　 _/|_ ./| 　./ 　 ,　　Y:::::∨　　＋　あなたを～殺して～♪
　　　　　||＼＿／/　 　 ヽﾊ　'､　 !　 /_」_/　!／|-‐/ﾄ　　ﾄ､:::::|　　　　　　　　　　よかですか～♪
　　　　　||::::::::::://　　　 　 ∨,-∨| ,ｲ´j__r! 　 　 ｧ‐'ti､　./　ﾊﾉ　　 　 　　ﾄ､
　　　　　|ﾄ--‐'ｲ　　　 　　 ,ﾊ7￣`ヽ!" 　 　　 　 ゝ-''ｲ／r─ｧ|　　　 　　ﾉ　',
　　　　　`ｰ-＜.,,＿_＿　 　 ﾉ 　　　ヽ、　i7￣｀ヽ　"/|　,ﾄｒ'´ | 　　 r--‐'ﾉ 　i
　　　　　　　　　　　 7　｀ヽ、　　　　　ﾉ＞Y'⌒ヽﾉ／ / /|　　 !　　 ﾉﾉ￣　　.ﾉ
　　　　　　　i 　 　　|ﾍ.　 　|＞ ､.,__イ/＼ ﾍ、 ノ/イ´｀ヽ.ﾚﾍノ＞‐'イ　　 r'´
　　　 ＿　_人＿ _ _　　＼ﾍ 　 　　｀7ヽ､`ｧ'⌒Y　/|　　　∨　　､,_ノ　 　ﾉ
　　　 　　 ｀Y´　　　　　　 　 ＼＿__i::::::::::i´　　∨|/　　　 ﾉ　　　　　 _ノ´
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Functors like these are called representable functors. An important goal in many settings is to determine whether a given functor is representable.

Set theory is the branch of mathematical logic that studies sets, which are collections of objects. Although any type of object can be collected into a set, set theory is applied most often to objects that are relevant to mathematics. The language of set theory can be used in the definitions of nearly all mathematical objects.

The product of cardinals comes from the cartesian product.


    |X| · |Y| = |X × Y|

Infinity is often used not only to define a limit but as a value in the affinely extended real number system. Points labeled +\infty and -\infty can be added to the topological space of the real numbers, producing the two-point compactification of the real numbers.