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　 　　 __,ﾍ_ ,. -──- ､,
　 　　ri::::;ﾍ＞=＝=- ､　｀ヽ.
　邪　7〉'　,　 ,　ﾊ　､　｀ヽ　 ',
　魔　i i　/_!,/ｨ」 L､!_ﾊ_i　',　i
　な　 |_i__!ｲ'T,j　 　'T_,T!_ﾊ! |　　　　それで満足したら
　ん　　 ! 7i"　 　　　　",!l |　|　　　　　お帰り願えますか
　で.　　| i l＞.､.,_｀　_,,.イ! /l |　　　　　　__
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　　　　　 r〈/::::Y::::t::k'　_,.ｨ'×､> ,'　　　　　　 ,'　　　　　
　　　　 　/ k:::::i：:::::::::i'´　!／　／　　　　　　, '
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　　 ヽﾆヽ7ﾆ二ｨ_T__ﾊ_7イノｰ'´〈
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　　　　　/::::::;ﾊ／::::::!　　　 ヽ---'　｀'＜￣|
　　　　　 ア⌒i::::::＿|／　　　　　　　　　ヽハ
　　　　　/　 　|／　/　,ﾊ 　 /|　　|　　　　∨}
　 　 　 ,' 　 　 ,| 　 | ./ｰ|_イ　|　 ,ﾊ.　　/　 | ヽ
　　　_ノ 　　　八 　|/＝≡=　|／ｰ|-.ノ|　 / 　ﾊ　　いや　別に
　 , '´　　 　 ∧ {＼|xx　　　　　　≡= /／| 　　 !　 毎回「そこまでよ」
　.{　　 　 ／　 ヽヽ,ﾊ　　　　　　'　 xx|/　/　　 ,'　　してる訳じゃないし
　 } 　　 /　　　　）、 |　　⊂ーっ　　 ,ﾊ /　 　/
　 '､.　 〈　　　　 '´ }ﾉ＞.､.,　_＿,,.. イ　} 　 ／　　　 正直外出るのだるいし
　　 ＼　',　 ,. '"´￣｀ヽ ＼/､　　 / }ノ''"´
　　　　） |　|　　 　 ＼ ∨∧ }ヽ、! /
　　　（ ｒ'　/　　　　　 ∨　 [::] ∨∨　　　　,.　-- ､
　　　　ヽ. {　 ､＿　　　|　　/:}　 ', }　 　 ／ ,つ-､ﾉ)　) ）
　　　　　　ヽl´ ＿｀ヽノ　 く:::」 　}|　　,.'　_ノ _ノ-'､ｊ
　　　　　　　｀「　　｀|　／￣｀ヽ.ｲ '､ / 　 ´/´
　　　　　　　./|　 　 |/　r ､）.ﾉﾉ |　/ 　　 /

　　　　　　　　　　　　ｒ- ､-, ‐- ､_
　　　　　　　　,.　,べ´　　∨　　 |/￣ヽ-､
　　　 　 　 ／　「ヽ　＞''"´￣￣｀ヽ/＿/´|、
　　　　　 /　　 ﾉ-／ 　 ／　　　　　　　｀ヽ ﾍ
　　　　　,'　 　.| 7 　　.,'　/メ､/| 　 ,|　　　　Y}
　　　 　 |　　　|/　 　 |　,ァｰ=､|　/ |　 ,ﾊ.　 ||
　　　 　 | 　 ／ /　　 |./ 　/´! ﾚ'　 |／-|　 八　　紅魔館の警備ですか
　　　　　| 　'￣/　 　 八　弋ﾘ　　 　ｧ!'T| イ「｀
　　　　　| 　 ∠.,_,. イ},., ｀　　　　　, lﾘ ﾊ|∨'　　　大丈夫です、問題ありません
　　 　　 ;　　/　　 {Y}|　　　　　　　　　ﾞ|Y
　　　　 /　ｲ　　　 }X{ﾄ､　　　 　‐ 　　 ハ
　　 　 ,'　/| ./　　 {Y}|　　 ､ 　　 　, ィ| 　}　　　　 ｒt
　 　　 ﾚ　 ヽ| 　 /∨ﾊ､　 　｀lァ7´|}Y{　/　 　 ｒ' ´￣`ヽ　 　　　（　　）
　　　　　　 ｒ'"´[￣＼Kこ{ヽｒﾑｲ　 {X}./　　 　 |´￣￣'|　　　　(　)
　　　 　 , '"´￣｀ヽ / Tヽに＞く{ヽ}Y{! 　 　 　 |　塩　 | r======ｒ┐
　　 　 /　　　　　　∨　} ＼/ﾊ＼}ムに}　　　　|　 　　 |　､＿＿ノ‐'
　　 ／　　　　　　 ヽ|　/ト-く__」-┘∨、　　ヽ二二二二二二二二ﾝ
　　.{　Red Magic　　Y} /:::::::::::l::}:::::::ﾊ ヽ 　　 　 { 　'´　　／
　　 ゝ 　 _,. --= ､　 ,ﾊ/::::::::::::::り::::::::::}　}　　　　,'　　　 ./
　　 く　,-──-､　Y､:::::::::::::::::::::::::::::::ｲにlヽ.　　/　　　 ,'

　 　　　　 　 　＿　　　　　　　 ＿,,,....,,,__
　　　 　 　 　 ＼ ｀ヽ-‐''"´￣　 　　　　｀ﾞ'　、 　∧
　　　　　　　 _,,. ＞ 　 ─- ､＝＝= ､　　　　 ヽ/　|
　　　 　 　＜ 　 ／　　　 　　＼　　　Y⌒ヽ__　　 /
　　　　 　 ／　/　　|　　　 　　 ﾊ　　 ,|　　　　） 　ヽ.
　　　　　,:'　　 | 　 八 　　　,ﾊト-|-イ |_,,..　イ　　　 ﾊ　 ○
　　　　 /　 .|　|　 ｀7_＼　　　|ｧ'"￣ﾞヽ|　　　'､　 　　|　　　ﾟ
　　　／　　 |　'、 /´rヽ ＼　 | 　 l´ﾟﾊ |　　　　＼ 　 |
　　 ´￣ '、　､　∨　| r! 　 ＼! 　弋_ｿ八　　　|　 ` ァｰ- ､
　　Ｏ　 　）　 ＼|　ｰ｀´ ,　　　　 ///´ﾘ 　 　 /　　 （　　　）
　　　　 ＜　イ､_,ゝ//　　＿__ 　　　∠、_,,..イ　　　　ヽ ／ o
　　　　 　 ヽ 　 人 　　　|/　 ｀ヽ ι ／ 　 / 　 　 , 　 ）　 　,. -────-､
　　　　。　　|／/　＼　 　､　 __ﾉ 　/　　／ 　 　 /|／　　／
　　　　　 　/　,'　　 ,| ヽ,＿_,,,..　 イ|　／ヽｒ‐､|／　　＿/　 .し　　お　　心
　　　　　　,'　 |　／　＼/ア´￣｀ヽ.ﾚ'　＼ｒ'／　 　 　＼. 　 な　　か　　を
　　　 　 　|. 　∨ 　 　 ／　　　- ､　∨| 　＼ 　 　 　 　|　　い　　し　　無
　　　　　　ヽ.,＿＿　ｒ/　／　　 　 ＼ﾄ､　 　,ﾊ. 　 　 　 |　　で　　な 　 に
　　　　　 　　 　, -､{/.／　　 　 　 　 |ｒ､）､__,り⌒ヽ.　　| 　 下　　こ. 　 し
　　 　　　／￣´　ｒ'/　　　　　 　 　 /　　 　/　　 　 ',　.|　　さ.　　と　　つ　
　　　　 /　　　 　 /　　　　　　　 ,／　　　 /|.　　 　　|　| 　 い.　　　　　つ
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I'm a cat. My girl doesn't like it when I purr, and always complains about my hairs in her bed.

What's everyone's favorite computer from the era of 8-bit computers? What were your favorite parts about it? Share your thoughts, feelings, and facts on the 8-bit computers of the late 70's and 80's.

The new fad teen diet: getting cancer. Has our obsession with skinniness gone too far and driven our children off the deep end? Our reliable sources have reported that many overweight teens spend hours in front of special cylindrical chambers that bombard them with radiation. This process is designed to give them cancer that will ideally eat away all of their fat."

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　邪　7〉'　,　 ,　ﾊ　､　｀ヽ　 ',
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　な　 |_i__!ｲ'T,j　 　'T_,T!_ﾊ! |　　　　それで満足したら
　ん　　 ! 7i"　 　　　　",!l |　|　　　　　お帰り願えますか
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Mathematical topics typically emerge and evolve through interactions among many researchers. Set theory, however, was founded by a single paper in 1874 by Georg Cantor: "On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers"

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Multiplication is associative (κ·μ)·ν = κ·(μ·ν).

The original formulation of infinitesimal calculus by Isaac Newton and Gottfried Leibniz used infinitesimal quantities. In the twentieth century, it was shown that this treatment could be put on a rigorous footing through various logical systems, including smooth infinitesimal analysis and nonstandard analysis. In the latter, infinitesimals are invertible, and their inverses are infinite numbers. The infinities in this sense are part of a hyperreal field; there is no equivalence between them as with the Cantorian transfinites. For example, if H is an infinite number, then H + H = 2H and H + 1 are distinct infinite numbers. This approach to non-standard calculus is fully developed in Howard Jerome Keisler's book (see below).

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The momentum of set theory was such that debate on the paradoxes did not lead to its abandonment. The work of Zermelo in 1908 and Abraham Fraenkel in 1922 resulted in the set of axioms ZFC, which became the most commonly used set of axioms for set theory.

Paul Cohen invented the method of forcing while searching for a model of ZFC in which the axiom of choice or the continuum hypothesis fails. Forcing adjoins to some given model of set theory additional sets in order to create a larger model with properties determined (i.e. "forced") by the construction and the original model.

　　　　　　　　　　　　ｒ- ､-, ‐- ､_
　　　　　　　　,.　,べ´　　∨　　 |/￣ヽ-､
　　　 　 　 ／　「ヽ　＞''"´￣￣｀ヽ/＿/´|、
　　　　　 /　　 ﾉ-／ 　 ／　　　　　　　｀ヽ ﾍ
　　　　　,'　 　.| 7 　　.,'　/メ､/| 　 ,|　　　　Y}
　　　 　 |　　　|/　 　 |　,ァｰ=､|　/ |　 ,ﾊ.　 ||
　　　 　 | 　 ／ /　　 |./ 　/´! ﾚ'　 |／-|　 八　　紅魔館の警備ですか
　　　　　| 　'￣/　 　 八　弋ﾘ　　 　ｧ!'T| イ「｀
　　　　　| 　 ∠.,_,. イ},., ｀　　　　　, lﾘ ﾊ|∨'　　　大丈夫です、問題ありません
　　 　　 ;　　/　　 {Y}|　　　　　　　　　ﾞ|Y
　　　　 /　ｲ　　　 }X{ﾄ､　　　 　‐ 　　 ハ
　　 　 ,'　/| ./　　 {Y}|　　 ､ 　　 　, ィ| 　}　　　　 ｒt
　 　　 ﾚ　 ヽ| 　 /∨ﾊ､　 　｀lァ7´|}Y{　/　 　 ｒ' ´￣`ヽ　 　　　（　　）
　　　　　　 ｒ'"´[￣＼Kこ{ヽｒﾑｲ　 {X}./　　 　 |´￣￣'|　　　　(　)
　　　 　 , '"´￣｀ヽ / Tヽに＞く{ヽ}Y{! 　 　 　 |　塩　 | r======ｒ┐
　　 　 /　　　　　　∨　} ＼/ﾊ＼}ムに}　　　　|　 　　 |　､＿＿ノ‐'
　　 ／　　　　　　 ヽ|　/ト-く__」-┘∨、　　ヽ二二二二二二二二ﾝ
　　.{　Red Magic　　Y} /:::::::::::l::}:::::::ﾊ ヽ 　　 　 { 　'´　　／
　　 ゝ 　 _,. --= ､　 ,ﾊ/::::::::::::::り::::::::::}　}　　　　,'　　　 ./
　　 く　,-──-､　Y､:::::::::::::::::::::::::::::::ｲにlヽ.　　/　　　 ,'

Every set has a choice function

Well-ordering theorem: Every set can be well-ordered. Consequently, every cardinal has an initial ordinal.

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　　　 　 　＜ 　 ／　　　 　　＼　　　Y⌒ヽ__　　 /
　　　　 　 ／　/　　|　　　 　　 ﾊ　　 ,|　　　　） 　ヽ.
　　　　　,:'　　 | 　 八 　　　,ﾊト-|-イ |_,,..　イ　　　 ﾊ　 ○
　　　　 /　 .|　|　 ｀7_＼　　　|ｧ'"￣ﾞヽ|　　　'､　 　　|　　　ﾟ
　　　／　　 |　'、 /´rヽ ＼　 | 　 l´ﾟﾊ |　　　　＼ 　 |
　　 ´￣ '、　､　∨　| r! 　 ＼! 　弋_ｿ八　　　|　 ` ァｰ- ､
　　Ｏ　 　）　 ＼|　ｰ｀´ ,　　　　 ///´ﾘ 　 　 /　　 （　　　）
　　　　 ＜　イ､_,ゝ//　　＿__ 　　　∠、_,,..イ　　　　ヽ ／ o
　　　　 　 ヽ 　 人 　　　|/　 ｀ヽ ι ／ 　 / 　 　 , 　 ）　 　,. -────-､
　　　　。　　|／/　＼　 　､　 __ﾉ 　/　　／ 　 　 /|／　　／
　　　　　 　/　,'　　 ,| ヽ,＿_,,,..　 イ|　／ヽｒ‐､|／　　＿/　 .し　　お　　心
　　　　　　,'　 |　／　＼/ア´￣｀ヽ.ﾚ'　＼ｒ'／　 　 　＼. 　 な　　か　　を
　　　 　 　|. 　∨ 　 　 ／　　　- ､　∨| 　＼ 　 　 　 　|　　い　　し　　無
　　　　　　ヽ.,＿＿　ｒ/　／　　 　 ＼ﾄ､　 　,ﾊ. 　 　 　 |　　で　　な 　 に
　　　　　 　　 　, -､{/.／　　 　 　 　 |ｒ､）､__,り⌒ヽ.　　| 　 下　　こ. 　 し
　　 　　　／￣´　ｒ'/　　　　　 　 　 /　　 　/　　 　 ',　.|　　さ.　　と　　つ　
　　　　 /　　　 　 /　　　　　　　 ,／　　　 /|.　　 　　|　| 　 い.　　　　　つ
　　　|｀Yヽ-r‐‐r/|　　　　　　 ／/ 　　 ／./　 ノ⌒ｰ'　 '､

It is also consistent with ZF + DC that every set of reals is Lebesgue measurable; however, this consistency result, due to Robert M. Solovay, cannot be proved in ZFC itself, but requires a mild large cardinal assumption (the existence of an inaccessible cardinal).

Relations among morphisms (such as fg = h) are often depicted using commutative diagrams, with "points" (corners) representing objects and "arrows" representing morphisms.

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　　　　ﾉi_／　　　　　....::::::::::::::::::ヽ」(:::ﾊ
　　　　}y'::::::::::/:::::i:::::::i:::::::::i::::::ヽ､::::iヽ;:!
　　　　/:::::::::/:::i:::ﾊ:::::ﾊ:_,ニ_ﾊ:::::ﾊ::::|　 ＼
　　 　/:::/::::ﾊ-ｪ:;!　V'´{　,ﾊ!､!:::|:::::ﾄ､　,.ｲ(
　　　ｲ::::i::::::!Y'{ ﾊ　　　｀ｰ''´ 「_i:::::::i､_/(|　　
　　　 L.へﾚ:::i　'ｰ'　.　　 　"" ﾄ┤イ:::::´ﾊ
　　　　　 　L.ﾍ."　　　-　　,.ｲ|::7､:::|::::::::|::|
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＼　　 　　　|:::|ﾍ.|::::::!ｲ7 .／/:::/　　　ﾊ::i:::i
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　 ＼./ /ヽ._ 　ﾊ:::::|/i/ .ﾊ::i^ヽ､__　/､|:|::ﾊ::|
　　　!　'  　r !__Y:::!/ム__」/ ｀　- ｀ヽ7:ﾉ|　|/
　　　｀ヽ､ｲ ＼'li／7::ﾊ,. '"-‐ 　　ヽ ｀>'
　　　　 | !::＼,へ､/::／　　　　　　　 /!
　　　　 ', ヽ.,__>､ >'´ヽ､ヽ　　..:::　　,'」
　　　　　ヽ､___ Y　 　　,ﾊ_ l　 　　　i:ﾊ
　　　　　　　／/>ヽ,__rへ!　　　　 /::::ヽ.
　　　　　 ／:::/::::7 　　＼ >､.　　/:::::!:::::ヽ､

Morphisms satisfy two axioms:

Limit functor: For a fixed index category J, if every functor J→C has a limit (for instance if C is complete), then the limit functor CJ→C assigns to each functor its limit. The existence of this functor can be proved by realizing that it is the right-adjoint to the diagonal functor and invoking the Freyd adjoint functor theorem. This requires a suitable version of the axiom of choice. Similar remarks apply to the colimit functor (which is covariant).

　　　 i｀i
　　　 | .|_,.､/'i
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　　r〈　　　くﾝ　　　　　　__
　　ﾄ-'r､ｨ-へ7　 _Σﾆ'ゝ=<ｰｧ
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　　|　　　　 ｲ-'/´￣/￣ﾊ｀""''ヽ､ｨ　_i
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　ﾄ､,ﾄ､,___,.ｨ! ',　ﾄ､　ヽ.__,ノ 　,.ｲ　ﾊ'￣'｀　/二ヽ「|　「|/二ヽ「二ヽ「|　「|/二]
i＼ |　　　　　 ヽ|｀「＞ｰr=i'"ﾚﾍﾚヽ|　　　 | |　 ´| 二 || |　| || ﾄ-'ﾉ| |　| |ヽヽ
〉　　ヽ､　　　　ｲ´　Σ>o<{ﾊヽ､ｨ'i_　　　　ヽ二ﾌL| 'L|ヽ二/L|ヽ,」ヽ二ﾉ[二ﾉ
ゝ､_　　｀ヽr-'"´ ､　　／　　 i　 〉,　フ　　「ヽ,／| /二ヽ. /二][￣￣]「二] 「二ヽ　
　∠　　＞ヽ. 　Σ>o<{　　_,ｲ　　ｲイ.　 　| |｀´| | | ||7〈| ヽヽ. 　|　|　| 二] | ﾄｰ'ﾉ
　　レへ,　　ﾊ　　 /　⌒　　|__,.-ﾍ.7　　　L|　 |」 ヽ二ｲ>[二ﾉ　L.」　L二] L|ヽ,」
　　　　　 '⌒!,ﾍ／ ､　　　,　ﾄ,　　　＼　 　コーラスマスター────＜TM＞
　　　　　　　　r〉　'　　 i　　 ヽ'〈´ 　　〉
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　　　　　　/　　/　　　　　　　,イ　｀く
　　　　 ／ 　 /　　　　 _rﾍo'_　　　　ヽ､
　　　rく　/　　　　　　　レiヽ_７　　ヽ　 」､

He is known for his role in developing Zermelo–Fraenkel axiomatic set theory and his proof of the well-ordering theorem.

Exponentiation is given by

    |X|^|Y| = |X^Y|

where X^Y is the set of all functions from Y to X.