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A set X is Dedekind-infinite if there exists a proper subset Y of X with |X| = |Y|, and Dedekind-finite if such a subset doesn't exist. The finite cardinals are just the natural numbers, i.e., a set X is finite if and only if |X| = |n| = n for some natural number n. Any other set is infinite. Assuming the axiom of choice, it can be proved that the Dedekind notions correspond to the standard ones. It can also be proved that the cardinal ℵ₀ (aleph null or aleph-0, where aleph is the first letter in the ^Hebr^ew alphabet, represented ℵ) of the set of natural numbers is the smallest infinite cardinal, i.e. that any infinite set has a subset of cardinality ℵ₀. The next larger cardinal is denoted by ℵ₁ and so on. For every ordinal α there is a cardinal number ℵ_α, and this list exhausts all infinite cardinal numbers.

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It was introduced in 1655 by John Wallis, and, since its introduction, has also been used outside mathematics in modern mysticism and literary symbology.

Perspective artwork utilizes the concept of imaginary vanishing points, or points at infinity, located at an infinite distance from the observer. This allows artists to create paintings that realistically render space, distances, and forms

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Descriptive set theory is the study of subsets of the real line and, more generally, subsets of Polish spaces. It begins with the study of pointclasses in the Borel hierarchy and extends to the study of more complex hierarchies such as the projective hierarchy and the Wadge hierarchy.

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　　　　　 ,'　./　 ,'　/!　ハ　 / !　　ﾊ　　 !／　　!　　　∠　　　希
　　　 　 /　,' 　./,メ､_!/　 ﾚ'　_」_イ .!　　 ':,　　　|　　　　!　　　望
　　　 　,'　 !　 ﾉｲ´7ヽ!　 　'7´,'"'ヽ!ﾊ　　 ,.ゝ　　!　　　　',　　　？
　　　 ノﾍ　レ'ドﾉ _!_ｿ　 　 　 _!__ソ_ゝ!　ノ　　,'　!　　　　 ヽ､.,_________
　　　　　 )へ!,7.,.,.　 `　　　　　 　.,.,. /_ﾝ'i 　 /　.|
　　　　　　 /!,ﾊ,　　　　　　　 　　 　/iﾝ_ﾝ　 /　　',　　　　　　,. -──-
　　　　 _,.ｲン　!ヽ.　 　`　　 　　　,r'iﾝ　　／/ 　 ﾊ　　 　___/
　「`7r'_ン7　 ,'　 iヽ.　　　 　　,.ｨ7_ﾝi　_」=‐ｧ-､' 　〉 　　 ＼　　　視
　レﾍ」 ,.ｲ　ノi　,ﾊ__,i`=:;ｧﾆ´ __(_ﾝ-ｧ'´　／‐-'､! (　　　　　|　　　界
　/]　 〈rﾍヽ.,.へﾆゝ!_ｨｧ'-‐く__ﾝ＜]___ /　　　　ヽ..　　 　　 !　　　か
　ﾚ'　　　 ,i´___/:::/ /ム 　／|/::/ ／　　　 　　　　':,　　　　|.　 　 ら
　　　　　/,i__ｧ':::::i/　ハ／/:ﾉ」::ﾚ'/　　　　 　　　 　 ヽ.　　 .!.　　 消
　　　　,'! ／:::::rく　/ 　';_/:::::::::/､!　　　　　　 Red Ma.〉　　|.　 　エ ・
　　　〈 ｲ::::::::::ヽﾍﾆ7二>:::::::::::! ,ﾍ　　ヽ.　　　､_,..-､_!ﾝ　　　!.　　 ロ ・
　　　!_,ﾊ;:::::::::::::::､:::::::::::::::::::::::::Y_,.ゝ-､.,__,r'"´　　　ヽ.　　　',
　　 /`''-ゝ;::::::::::ﾊ:::::::::::::::::::::::'ﾚ':::/／　`ヽ. 　 　　　　ヽ.　　ヽ､.,_________
　／　　 ;7::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;'---‐=ｧ　,>''" 　　 　ﾉ
'　　　 r'/;::::::::::::::::::::::::::::::::::::::_,.イ!_,,...-‐ ''´　　　　_,,.. ''´
　 ,.イ_/iへ:::::!:::::::::::::::::::::::r'"ン/´,　　　　 __,,.. -''"
／r'7`ヽ､__＞=ﾆ二ﾆ=く_／」 ,! /　/ ,　ノ＼

For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f defined on X.

A cause for this difference is that the axiom of choice in type theory does not have the extensionality properties that the axiom of choice in constructive set theory does.

　　　__,人_　　　　 　 　　　＿__（ゝ､,＿_　　　　、　　　　　　　、l || l| | ll | l| ll | l| || ll l|l| ll |
　　　） ,. - ｀て　　 ,.　 '"´__,,,...,,,_　　　　 ｀＞､ノ|　　　　　　 ミ
　 ＜ (　､.,,＿,,..　'´ ,　'"´　　　　　｀ Y⌒ ､_　　 ヽ　　　　　ﾆ　 何だか知らないけど
　　　) '　 ` ｧ　　　　/　　　　　 　　　|　　　 ）　　　 、　　　三
　　　　　　/　 ／　 ,l　　　　　　　 　└‐= 升ゝ--　..,_　　　ﾆ 　こいしの貞操の危機！？
　　　　　 '　 /　　／|　　　　　! 　　 ﾄ ､　　　 ヽ 　　　ﾊｰ‐　彡,
　　　　_ノ　 { 　 /　八　　　　ﾊ 　-ﾉイ ヽ.　　　' 　　　 }　　　 / | l| ll | l| || ll l|l || l| |l| ll | l
　　　｀ヽ;　　 ､　{　ｰ-_ ､　 |/　ｧ芹七Tヽﾊ.　　 |　　　 ;
　　　　/ 　　| ヽ ｧ芹七ﾐ＼! 　　 乂_rﾉ 人!　 　'､　　 ;　　　　　;
　　 ∠... イ　 ､ 八 乂り　　　　　　　- 　　}　　 ト＼　{ 　　　　/
　　　　　　|　 　 ﾊ.` ｰ　　 .　　　　　　 xx.ﾉ　　ﾊ　　　、　　　,'
　　　　　 人　　 .ﾑxx　　　　＿　　　 　∠.. イ　}　　}　＼　　{　
　　　 , '´ 　 )∠ 八　　　　{´　 ｀ヽ　ι /　　　/　 ノ｀￣　　 ;
　　 /　　　　　　,ｨ公 、　　｀　　　'　　 ｲ 　/ , ' , '（　　　, -‐/、
　　 {　　　　　　　 ./　,＞ 、　　　 ,　　 |　,'／イ　ヽ）,.∠.,　 {　',
　　　、　　　　　　,' ／{. 　 `ァf壬ﾊ. 　 ∨ ＞‐ァア´/　　｀ヽ、 }
　　　 ＼　　　　　{'　　＼r'"´　_ノﾑ-ｒ'´　 　／/　 /　　　　　∨
　　　　　)　　　　　　　　_,ｒ ｧ''"　 |_ /　　　/{ r　, '　 ｒ‐-､　　 }、
　　　　（.　 　, -　､　／ r / γ⌒'´　 Y　　//／　 ／ 　　ヽ / }─- ､
　　　　　｀／ ､＼ ∨ 　 }' 　_{　　 　／､　/r'　　 ｒ'　　　　　 }、{　 　　 ヽ
　　　　/7　 ､ ヽ ﾝﾘ　､/}／　}_,. イ　,. '"´￣｀ ヽ し､　　　 /´￣ |　　　　}
　　　r' /{　ｒ､ ﾝ´イ{　 ,　　　/r'　　/　､＿＿,.　　∨{＿ｒ‐'´ 、　 {　　　 /
　　　} _{:}　　)ノ::::り　/　 （｀´)　　 {　く弋__ｦ ＞　 }r'　 ヽ　　Y 八　 ／

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Since cardinality is such a common concept in mathematics, a variety of names are in use. Sameness of cardinality is sometimes referred to as equipotence, equipollence, or equinumerosity. It is thus said that two sets with the same cardinality are, respectively, equipotent, equipollent, or equinumerous.

　　　　　　　　　　　rｧｰ-､
　　　　　　　　　　　i7:::::7ｱヽ､　　　 ,..‐rｧ-､
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    * Enumerable: lowest, intermediate, and highest

    * Innumerable: nearly innumerable, truly innumerable, and innumerably innumerable

    * Infinite: nearly infinite, truly infinite, infinitely infinite

Some programming languages, such as Java[13] and J,[14] allow the programmer an explicit access to the positive and negative infinity values as language constants. These can be used as greatest and least elements, as they compare (respectively) greater than or less than all other values. They are useful as sentinel values in algorithms involving sorting, searching, or windowing.

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　　　　 　　.／　　　　　ヽ ﾊ 　　　 ト-ｒ-､_　 　 　 }:::;　」 --､]
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Set theory as a foundation for mathematical analysis, topology, abstract algebra, and discrete mathematics is likewise uncontroversial; mathematicians accept that (in principle) theorems in these areas can be derived from the relevant definitions and the axioms of set theory.

One motivation for this use is that a number of generally accepted mathematical results, such as Tychonoff's theorem, require the axiom of choice for their proofs. Contemporary set theorists also study axioms that are not compatible with the axiom of choice, such as the axiom of determinacy.

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　　　 ノﾍ　レ'ドﾉ _!_ｿ　 　 　 _!__ソ_ゝ!　ノ　　,'　!　　　　 ヽ､.,_________
　　　　　 )へ!,7.,.,.　 `　　　　　 　.,.,. /_ﾝ'i 　 /　.|
　　　　　　 /!,ﾊ,　　　　　　　 　　 　/iﾝ_ﾝ　 /　　',　　　　　　,. -──-
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　レﾍ」 ,.ｲ　ノi　,ﾊ__,i`=:;ｧﾆ´ __(_ﾝ-ｧ'´　／‐-'､! (　　　　　|　　　界
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In Martin-Löf type theory and higher-order Heyting arithmetic, the appropriate statement of the axiom of choice is (depending on approach) included as an axiom or provable as a theorem.

The Lebesgue measure of a countable disjoint union of measurable sets is equal to the sum of the measures of the individual sets.

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　　　　　　/　 ／　 ,l　　　　　　　 　└‐= 升ゝ--　..,_　　　ﾆ 　こいしの貞操の危機！？
　　　　　 '　 /　　／|　　　　　! 　　 ﾄ ､　　　 ヽ 　　　ﾊｰ‐　彡,
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　　　｀ヽ;　　 ､　{　ｰ-_ ､　 |/　ｧ芹七Tヽﾊ.　　 |　　　 ;
　　　　/ 　　| ヽ ｧ芹七ﾐ＼! 　　 乂_rﾉ 人!　 　'､　　 ;　　　　　;
　　 ∠... イ　 ､ 八 乂り　　　　　　　- 　　}　　 ト＼　{ 　　　　/
　　　　　　|　 　 ﾊ.` ｰ　　 .　　　　　　 xx.ﾉ　　ﾊ　　　、　　　,'
　　　　　 人　　 .ﾑxx　　　　＿　　　 　∠.. イ　}　　}　＼　　{　
　　　 , '´ 　 )∠ 八　　　　{´　 ｀ヽ　ι /　　　/　 ノ｀￣　　 ;
　　 /　　　　　　,ｨ公 、　　｀　　　'　　 ｲ 　/ , ' , '（　　　, -‐/、
　　 {　　　　　　　 ./　,＞ 、　　　 ,　　 |　,'／イ　ヽ）,.∠.,　 {　',
　　　、　　　　　　,' ／{. 　 `ァf壬ﾊ. 　 ∨ ＞‐ァア´/　　｀ヽ、 }
　　　 ＼　　　　　{'　　＼r'"´　_ノﾑ-ｒ'´　 　／/　 /　　　　　∨
　　　　　)　　　　　　　　_,ｒ ｧ''"　 |_ /　　　/{ r　, '　 ｒ‐-､　　 }、
　　　　（.　 　, -　､　／ r / γ⌒'´　 Y　　//／　 ／ 　　ヽ / }─- ､
　　　　　｀／ ､＼ ∨ 　 }' 　_{　　 　／､　/r'　　 ｒ'　　　　　 }、{　 　　 ヽ
　　　　/7　 ､ ヽ ﾝﾘ　､/}／　}_,. イ　,. '"´￣｀ ヽ し､　　　 /´￣ |　　　　}
　　　r' /{　ｒ､ ﾝ´イ{　 ,　　　/r'　　/　､＿＿,.　　∨{＿ｒ‐'´ 、　 {　　　 /
　　　} _{:}　　)ノ::::り　/　 （｀´)　　 {　く弋__ｦ ＞　 }r'　 ヽ　　Y 八　 ／

Diagram chasing is a visual method of arguing with abstract "arrows" joined in diagrams. Functors are represented by arrows between categories, subject to specific defining commutativity conditions. Functors can define (construct) categorical diagrams and sequences (viz. Mitchell, 1965). A functor associates to every object of one category an object of another category, and to every morphism in the first category a morphism in the second.

　　　　 r-､_　　　　　　　　　　　 　_,.､_
　　　/,ｧ':.:.ヽ., 　　　　　　　　　／｀ヽ!､!_
　　 ,「/.:.:.:.:.:.:.:.:'ヽ._,,,.....,,,__　／:.:.:.:.:.:.:.:':, !
　 「_/.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.`,ｧ_ｪ‐ｧ'､:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.! ]　　あら　お客様かしら？
　 i'Y:.::.:.:.:.:.:.:.:.＞''"´::::::::::::::::｀"'＜:.:.:.:.:.:.| (
　_| |.:.:.:.:.:.:.,::'"::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::｀ヽ;:.:.:.! ]　　いらっしゃいませ　
　) .!:.:.:.:.:,:'::::::::::／::::::::;::::::::;::::::';:::::::::::::｀フ!(
　! 」:.:.:./::::::::::/::::/::__/」_::::!:::::::!:::::!::;:::::く,_!」. 　 -┼‐　　　 -┼‐　＼／
　)__!:.:.;':::::/::,':::;:':::/:/_」_:::ﾊ:::::ﾊ::::i::::';::::::',　　　　_」　　　　 　_」　　 /
　!__レ'i::::;'::::i::/:::/7´　`iヽ ﾚ'　!,ﾆ､:::」:::::::!　 　 '､___ 　つ　 '､___ 　 '､_____
　　/::::!:::ﾚ'(_!ﾍ:ﾚ^ヽ,_rｿ 　　 　i ﾘ !7i:;::::::!
　 ,'::::;ﾊ:::i::::::|::::[⊂⊃ 　　 　 . ｀ ⊂ﾐ:::ﾊﾉ,ゝ　　　　　　　__|_ 　 ､　 ___i__　　 _i_　___
　.i:::/:.:.iヽ;::::|:::::i:::ﾄ､ 　　 rーｧ 　 ,ﾊｺイ」　　　　　　　　　/　｀i　i　　　／ 　∠i'´　 |
　i:ム__」:::::::::!:::::i:::i:i `　､.,___,,. .イ::::|:::!´　　　　　　　　　/　 ､/ 　　／`i__ 　　|　　 ﾚ
　|::::/i:::/!::/!_,,.ｨ|:::! ヽ､___,!ヽ;:__!:::/|:::|',
　!:/ |:/　!ｧ'"ヽ､',:::|　　ヽ､」　Y｀iヽ|:::!::i　　　　　　　　　　　　　,. -'⌒ヽ.,
　'!　ﾚﾍ:!/　　　`ﾚiヽ　 /ﾑヽ　i_(　ﾚ'､/_　　　　　　　　　　　　(　　　　　 ）
　　 !:r'7､__　　,r_i:.:.ヽﾝ/ ハヽﾘﾍ. 　 >ﾍ.　　　　　　　　(´_)　　ヽ､.,_ン- '
　　!/ ヽ _ ｀二´7:.:.:.rム____」>:.:.:.'Y´／ ヽ､　　　　　　　　　　　
. ／ 　　　　　　 ﾊ::::::::`'ｰ'^ｰ-':::::::::',　　,. -｀"''ｰ--‐ｧｰ-「￣二i
' 　　　　　 / 　/ﾝi.:.:.:.:.:.:.:.:/:i:.:.:.:.:.:.:.ﾊ　´　　　 　/ /￣｀つ液 _|
　　　　 　　　 ﾊヽ;:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.!/i　　　　　 　 i　 ﾉ´i. 状　」
　　　　,. '　　,'ｧ'ﾍ:.＞:.､:;___:.:」:.:.:.___」､.! 　　　 　 l　|､___,,..'ｰr-‐'

Higher-dimensional categories are part of the broader mathematical field of higher-dimensional algebra, a concept introduced by Ronald Brown. For a conversational introduction to these ideas, see John Baez, 'A Tale of n-categories' (1996).

associates to each morphism f:Xightarrow Y \in C a morphism F(f):F(Y) ightarrow F(X) \in D such that

　 　　　　　　　　　｀ヽ.　　 ｀ヽ:::Y:::/::::::::::::::::::::';::ヽ/／|
　　　　　　 　 　　 　 i　　　 ｒ─-'--=== ､..,,,_:|::::::i':/_|　　ほ　い
と　罵　千　⑨　お　|　 　_,,!_:::!]:::::::lｺ:::::::::r-､｀"'':::::::|　　ん　や
こ.　っ　の　か .前　| ／´　　｀ヽ,.-､_;;:: -‐- ､::/〉:::/:|　　と
ろ　て　言 　 　 が　|'　　　　　/::::::::ヽ.　　｀ヽ.｀ヽ/::::|　　う
だ. や　葉　　　 ど　|/　　/|　ﾊ_;:::::::::::i 　 ',　 ', 　',｀ |　　な
よ　り　.を 　 　 れ　|　/::/ |/´_ ',:::::i::::ﾊヽ､!_　i　　i　|　　ら
　　た　用　　　 ほ　|　i:::ﾊ,r;ｧ-!､ﾊ:::|/　!　ﾊ　 |　　| ﾍ.
　　い　い. 　 　 ど　|　ﾚ|:::|　!　r}　|/　 'ｧ='-!､ﾊ 　 |　 i｀7ノ￣
　　　　 て　　　 の　!ヽﾍ|:::!" ￣　　　 　 !__,r!/ i,へ! 　|´|
　　　　　　　　　　　/　　.|从　　　 ,　　 　 　 " /::::|　　!　|
　　　　　　　　　 ／　　　|:::::|＼　　ｒ-､　　u.／/:::;'　 ,'　 .|
-----── ''"´　　　　ﾉ|:::l:|　.i｀ヽ.,__　,. イ |7:::::/　./i　　|
　　　　/ヽ.　　　　　　/_,.|:::l:|,.ｧイ´ヽ､　 _ |>':::::/　 /　|　 |
　　　/´〉 | ./´〉　 ／´　 ';:::ヽ:;:ﾍヽ､　｀ハﾝi:::::i｀ヽ/　 ! 　|
　　r´〉'i　ﾚ　/　 / 　　　　〉::::i::ン＼>7 ﾊ ',|:::/i｀ 7｀ヽ! 　|
　　i　ヽ　　　レ´〉ン､_　 　レ'Y:::ゝ-'/ /　| 〉:::::Y　　 　〉 |

The content of the above statement is:

    "The identity functor IdGrp : Grp → Grp is naturally isomorphic to the opposite functor op : Grp → Grp."