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There is a transfinite sequence of cardinal numbers:
    0, 1, 2, 3, ..., n; ℵ₀, ℵ₀, ℵ₁, ... ℵ_α, ...

　　　　　　　　　　　　　 rｧｰ-r-､ 　　　　 _
　　　　　　　　　　　　　[7::::::/ｿ｀ヽ　　rｿ´;ゝ,
　　　　　　　　　　　　　}ﾊ::::::':､::::::!}-ｧ':::::;:ｲ-!
　　　　　　　　　 　 ,. '"´)ゝ､::::;:＞'､::::;:イ:::i_7
　　　　　　　　　／　rｧ'":::::rン'"´｀' ｰ､>;:::ヽ!ヽ.
　　　　　　 　.,.'　　r'」__r7'´　　　　　 　 ',ヽ;::_ﾝ ':,　
　　　　　　　/　　　 / 　 /_ ,.'　ﾊ　　　　 !　;　､ ｀ヽ.
　　　　　　 ,'　　 r7'　　,'　/_メ､._!　 /!　,'　,ﾊ　 ',　　':,
　　　　　　 i　　iンi.　　i　ｧ'-､｀ヽ!_/ ,'_/!_ｨ'　i.　 ',　　 ',
　　　　　　ﾉ r7::::/!___,,.!ｲﾄ､ .j　　 　 ´ｧ'､ヽ! /　　i　　_,! ,.-､_
　　　　　,' 　iｿ::::/」　ﾊ.　ゝ-' 　 　　　!_ｿ,ﾉ7ｰr ､ﾊ／　/ ,'　, ｀ヽ､
　　　　　r／::::/r'!　 　',''"　　　　 　'　　.,., !　 ';ヽ.､ 　iゝ'､/　/　 ｀i
　　　　r'/;;::イノ　',　　 丶、　　　ー 　 　ノ　　i::::::Yi　ヽ､）､,'_,r　　!
　　　　iY´ヽ､　　　ヽ､,　　',＞,､.,_　,,. イ´,' 　 ﾊ::::::!{　　　　｀',ｰ=-=7　 ミ
　　　rｿ:!}　　｀ヽ､.,____ ｀ヽ. ',ヽ､__「､　ﾉ /　／r7:::/」 　 　　 r!:::::::;:ｲヽ.
　　 /:::::!{ 　　　 ソｧ'"´｀ヽ､　　 Yイ／,,.'イ‐-'､:;/,ｿ　 　　 　ｿ￣ ヽ!:::i}､
　　｀ヽrノ　　　,.イ ,. -‐-..､, ｀ヽ､!_/イ　　 ゝ､_:::｀i7ｰ---‐ｧ' 　　　 ﾄ､;:ゞ
　　　　　　　 く　ｧ'::::::::::::::::::ヽ.　}＞riく{ヽ　　ヽ!､:::ヽ!.　　　 　　　 /　ﾊ/
　　　　　　　　｀7::::::::::::::::::::::::Y!　　!ｧ'⌒)::＼.　 Y:::::!}----─‐ '"　 }|:::|{
　　　　　　　 ,r〈::::::::::::::::::::::::::';ヽ,　（　 r':::::_,.-'､|}　　　　　　　　彡　{!:::|}
　　　　　　 　 ヽ_｀ｧrｧ'´￣ヽrﾉ::::＼iヽ!::;:'´'´ 　'ヽ.　　　　　　　　　　ヽ>'
　　　　　　　 　　 ｀´ヽ.　　　 ヽ;::::::＞ノ　　　　　i
　　　　　　　　 　　　　,!＼　　 ,.ゝ''"´　　　 _,,..イ､
　　　　　　　　 　 ,.rイ::::/::ヽ.　　　　　,,.イ´::::::ン>ヽ.
　　　　 　　　　 ／)ﾍ:::;'::::::::::｀':ｰ-::''´::::::';:::イ:::く　　＼

(κ ≤ μ) → (κ^ν ≤ μ^ν).

 It is therefore assumed by physicists that no measurable quantity could have an infinite value, for instance by taking an infinite value in an extended real number system, or by requiring the counting of an infinite number of events.

　 　　　　　　　　　　　, -ｧ-､　　r ､　　　　　＼　　　フ＿　　-‐ｧ
　　　　　　 |＼　　 _/ く＿ ﾊｒ､ﾊ　＼　　　　＜　￣/　　
　　　　　 ｒ-＼|'"´　＼|＿|/, ｒ‐┘　 |　　　　 ｜ 　`ｰ　　 `ｰ‐‐'
　　 　／￣＼ア　　　　　　　 ｀ヽ.　　ト、　　　/
　　 /　 　ｒ/|´ 　 ／　 　, 　|　,ﾊ.|　　|　＼ ＜　　　　　　ｰ┼‐　 -─ｧヽヽ. |___　 |｀l
　　,'　　 ／7 　./　メ_／|　/ｲ|./ |　　|　　,ﾊ　 ＼.　　　　ｰ┼‐　　／ 　 　 _|　　 .|/
　　| 　./　|'　　,ﾚ'ｨ´,ﾊ｀ ﾚ'　lﾘ∨.|　　|.　　　|　　 |　＿　　(_|｀ヽ　 `ｰ-　 （_ﾉ｀ヽ Ｏ
　　|　 '　/　　 ｒ八ゝ-ﾟ　 ＿_'　ﾞ|/　　.!/ 　 /　　 ,　- 、 ヽ
　　|　　/ ヽ、　｀.ハ"　/　 ヽ|／　 　ﾊ　／　　／　　　l　 |　￣｀Y´￣￣｀Y´￣￣
　　'、　| 　　)ノ＼　ﾄ ､!＿／　 　／-〈＿＿　　　　　/
　 　 ＼ヽ.　　 　　/´￣ｒ7　 　／|＼　{l　　, ｀ヽ　 ／
　　　　 ）ﾉ　　　 〈　　　}|ヽ.／/ヽﾍ　∨!-/　 /
　 　 ／/　　　　　ヽ.,_/| Y＼/　 .|::| 　}' /　 /　　 　 　/7　　[]┐
　　/　.|　　　　　　　ム」ｲ 　 　 //:!　ｒ'7 　 |‐┐　　 // 　「l└'
　　!　/　　　　　　　　　 ＼　　く/|.」 ┴|_r- '‐┘　 く/　　 | |
　　ﾚ'　　　　　　／　 　　/ ｀ヽ._＿＿／イ＞ ､　　　　　　 |.」　[] [] /|
　　　　　　　　/ 　　　　 .ﾚ'´ /二7＿!￣|:::::|＿|＼　　　　　　　　ｒ_／
　　　　　　|　 !__／　　　　　r|＿/:::::::|／|￣|:::::|　 /ヽ.
　　　　　　ヽ.,__　　　　　 　/::::::/　￣|:::::|__/￣.! /:::::::::':,
　　　　　　　　　　　　　 ／ ￣|＼_／￣|::/-─|/＼＿_∧
　　　　　　　　　　　　 く.＿___/:::::|＿___」--─＜´　　｀∨
　　　　　　　　　　　　　　/　　￣／　　　　　　　 ヽ、　　':、
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　　　　　　　　 ,. ＜´:::::::::＞'´　　　　　　　　　　　　　 ヽ::::::::;ﾊ
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Each set in this hierarchy is assigned (by transfinite recursion) an ordinal number α, known as its rank. The rank of a pure set X is defined to be the least upper bound of all successors of ranks of members of X.

Many discussions of "classes" in the 19th century and earlier are really referring to sets, or perhaps to a more ambiguous concept.

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ｒ'-'┐/　_,ノ ﾉ|　" 　　　　 Ｏ |ｿ|　　　/|
｀l^ヽ､ﾍ⌒ヽr,ﾍ.　　/´｀ヽ 　"从 ',　 / .|　
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　　　ノ＼_rﾍく:::::::::::ﾊ::::::::/-‐'￣
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　　　　　ﾒｲﾄﾞ・ｻｰｳﾞｧﾝﾄ
超量産型　　Ｍ　Ｓ　　"サクやさん"
サクサク増殖する！
能力が低いのでサクサクやられるけど
生産性を活かして数で勝負だ！

But some subsets of the real numbers do not have least elements. For example, the open interval (0,1) does not have a least element: if x is in (0,1), then so is x/2, and x/2 is always strictly smaller than x. So this attempt also fails.

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In 1910, Zermelo left Göttingen upon being appointed to the chair of mathematics at Zurich University, which he resigned in 1916. He was appointed to an honorary chair at Freiburg im Breisgau in 1926, which he resigned in 1935 because he disapproved of Hitler's regime. At the end of World War II and at his request, Zermelo was reinstated to his honorary position in Freiburg.

　　　　　　　　　　　　　 rｧｰ-r-､ 　　　　 _
　　　　　　　　　　　　　[7::::::/ｿ｀ヽ　　rｿ´;ゝ,
　　　　　　　　　　　　　}ﾊ::::::':､::::::!}-ｧ':::::;:ｲ-!
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　　　　　　　/　　　 / 　 /_ ,.'　ﾊ　　　　 !　;　､ ｀ヽ.
　　　　　　 ,'　　 r7'　　,'　/_メ､._!　 /!　,'　,ﾊ　 ',　　':,
　　　　　　 i　　iンi.　　i　ｧ'-､｀ヽ!_/ ,'_/!_ｨ'　i.　 ',　　 ',
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　　　　r'/;;::イノ　',　　 丶、　　　ー 　 　ノ　　i::::::Yi　ヽ､）､,'_,r　　!
　　　　iY´ヽ､　　　ヽ､,　　',＞,､.,_　,,. イ´,' 　 ﾊ::::::!{　　　　｀',ｰ=-=7　 ミ
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　　　　　　　 く　ｧ'::::::::::::::::::ヽ.　}＞riく{ヽ　　ヽ!､:::ヽ!.　　　 　　　 /　ﾊ/
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　　　　 　　　　 ／)ﾍ:::;'::::::::::｀':ｰ-::''´::::::';:::イ:::く　　＼

If 1 ≤ μ, then 0^μ = 0.

Cardinal arithmetic can be used to show not only that the number of points in a real number line is equal to the number of points in any segment of that line, but that this is equal to the number of points on a plane and, indeed, in any finite-dimensional space.

　 　　　　　　　　　　　, -ｧ-､　　r ､　　　　　＼　　　フ＿　　-‐ｧ
　　　　　　 |＼　　 _/ く＿ ﾊｒ､ﾊ　＼　　　　＜　￣/　　
　　　　　 ｒ-＼|'"´　＼|＿|/, ｒ‐┘　 |　　　　 ｜ 　`ｰ　　 `ｰ‐‐'
　　 　／￣＼ア　　　　　　　 ｀ヽ.　　ト、　　　/
　　 /　 　ｒ/|´ 　 ／　 　, 　|　,ﾊ.|　　|　＼ ＜　　　　　　ｰ┼‐　 -─ｧヽヽ. |___　 |｀l
　　,'　　 ／7 　./　メ_／|　/ｲ|./ |　　|　　,ﾊ　 ＼.　　　　ｰ┼‐　　／ 　 　 _|　　 .|/
　　| 　./　|'　　,ﾚ'ｨ´,ﾊ｀ ﾚ'　lﾘ∨.|　　|.　　　|　　 |　＿　　(_|｀ヽ　 `ｰ-　 （_ﾉ｀ヽ Ｏ
　　|　 '　/　　 ｒ八ゝ-ﾟ　 ＿_'　ﾞ|/　　.!/ 　 /　　 ,　- 、 ヽ
　　|　　/ ヽ、　｀.ハ"　/　 ヽ|／　 　ﾊ　／　　／　　　l　 |　￣｀Y´￣￣｀Y´￣￣
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　　ﾚ'　　　　　　／　 　　/ ｀ヽ._＿＿／イ＞ ､　　　　　　 |.」　[] [] /|
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　　　　　　　　　　　　 く.＿___/:::::|＿___」--─＜´　　｀∨
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Set difference of U and A, denoted U \ A, is the set of all members of U that are not members of A. The set difference {1,2,3} \ {2,3,4} is {1} , while, conversely, the set difference {2,3,4} \ {1,2,3} is {4} . When A is a subset of U, the set difference U \ A is also called the complement of A in U. In this case, if the choice of U is clear from the context, the notation Ac is sometimes used instead of U \ A, particularly if U is a universal set as in the study of Venn diagrams.

Category theorists have proposed topos theory as an alternative to traditional axiomatic set theory. Topos theory can interpret various alternatives to that theory, such as constructivism, finite set theory, and computable set theory.

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　　　　　　　 _ｒ'"7_,.!-‐'-.､7-､_
　　　　　　ｒ´ >'"　　　　　 ￣｀ヾ!､
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｜|　／ ﾉ／! イ　○ レ'　ﾚ_,. ﾚ'ヽ,ゝ
ｒ'-'┐/　_,ノ ﾉ|　" 　　　　 Ｏ |ｿ|　　　/|
｀l^ヽ､ﾍ⌒ヽr,ﾍ.　　/´｀ヽ 　"从 ',　 / .|　
　ヽ､_ﾉ7 　(Y,/」＞!､_,／_,. イﾉﾍ〉ｒ/／
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能力が低いのでサクサクやられるけど
生産性を活かして数で勝負だ！

In general, it is impossible to prove that F exists without the axiom of choice, but this seems to have gone unnoticed until Zermelo.

Tukey's lemma: Every non-empty collection of finite character has a maximal element with respect to inclusion.

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　　'､　 r'　　　　　　　;、　　　　 ({く弋ﾉ .>}＼　　_{　 ヽ/´/ヽ
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There exists a model of ZF¬C in which there is a vector space with two bases of different cardinalities.

retraction if a right inverse of f exists, i.e. if there exists a morphism g : b → a with fg = 1b.

　　　　　　　　　　　 　 _＿ 　　　 　 ／「|、
　 「|￣＼＿_　　 ,.::'"´::::::::::｀ヽ.　／　　ヽ＼
　r'/　　　＼ ｀ヽｧ':::_;;::　-─-＜　　　　 　＼＼
　|_|　　　＼ ＞''"´:::::::::::::::::::::::::::::`'＜　 　 　 ＼＼
　| |　 　 ,.:'"::／:::::::::/:::::|::::::::::::';::::ヽ;:::｀:..、 　 　 |__|
　|_| 　 /:::::::;'::::/::::::/|:::::;|::ﾄ､::::､|＿:ﾊ:::::::::ヽ.　　/ /　　　　博麗ちゃんは
　| |　 ,':::::::::|:::::!-‐ｧ'T´/|::|　ヽ:」__/｀|::::::::|::ﾊ　/_/　　　　 生まれつき地元民の信仰が薄く
　|_|　.|::::::::::|:::::|:::/ _」/　|_|　 ´,.‐-､｀ヽ;::/:::::| .|　|　　　　　異変解決の度に維持費が不足していきます
　',ﾊ　|::::::::::|:::::|:ア,..‐､ 　 　 　|{。,ﾊ oY○::/　!__|
　 ＼∧:::::::;!::::;〈　|{。ﾊ 　 　 　ゝ‐ﾟ'xw.!:::ﾚ'|　/ ∧　　　　 黒字化には1000円という
　　　'､|＼/レﾍ| oゝ‐ﾟ'　 　, 　　 　 　 |ﾆ{´￣ ＼ |　 　 　 莫大なお賽銭が必要です
　 　　 |/　 ○;ハxw　　 ＿,,... - ､ 　 /:::::|　 　 　 ＼ 　 　 どうか協力をよろしくお願いします
　　　 / 　 ∧::::::ﾍ、　　 l/´ 　　 ｿ／;:::::;ﾊ_r─-､＿,＞┐
　　rく　　 　,ﾊ:::::|:::｀7ァｰｒ--‐＜´/ |:::/::/　｀ヽ‐､＿..]┘
　　＼＼_r'__/',:::;'＜ヽ 　 ＼_　 _/　.ﾚ'|:::| 　　 ﾄ､∨
　　　 ヽ-r-‐'::∨､::::＼ヽ 　 ＼/ 　 　/:r'＿_,ノ /|
　　　　　.|:::/|:::/　＼:::::＼＼/{__}､ //::::|　＿　 ./
　　 　 　 ﾚ' r八　 　,ﾊ:::::::＼/　 |∨´::::| __　 　 ＼
　　　　　 　〈└-`'"　ノ＼:::/　　|　',::::::/　 ＼‐-､,.ﾍ.
　　　 　 　　 ＼-‐　　／´ヽ-､　 　 |::r|_/ ,　　｀Y::!　ﾄ、
　　　 　　 　 ／ヽ　r/　　　　ｒﾉエY{:::ヽ-〈_/ ,.　|:::|　|　＼

A split monomorphism h : X → Y is a monomorphism having a left inverse g : Y → X, so that g ∘ h = idX. Thus h ∘ g : Y → Y is idempotent, so that (h ∘ g)2 = h ∘ g.

Doing these constructions pointwise gives covariant and contravariant functors from the category of pointed differentiable manifolds to the category of real vector spaces.

　 　ヽ､ _,;:.ゝ|､____|___;;;:::-─ヽン‐r┐　　　　　 | |)
　　 くｰヽ､:;___;;::-:::::::─::::'':::"´:[l:::|.　　　 　　 |_|-､
　　　 ';:::::::::::::i:::::::l]:::::l]::;:=､___;;:::::」､　　　　 i´:::::::::|_
　　　/｀"' ｰ-'--─ ''"7::::::ヽ. 　 i　｀ヽ.　　r!__;;::-''|'
　　 ,' 　　　　/　　ﾊ,__ i:::::::::i -!､ﾊ　　',　　｀i::::::::::::|_______________
　　.i　 ./　　,' 　 /'´|　ﾊ::::::ﾊ__ﾊ　|　i　|　　 !､__:／
　　|. 　i　　ｲ　 /,ｱ;ﾆ;ヽ V .ｵ｀i｀i |　,ﾊﾉ　　 /
　　|. 　',　　i　 ,〈 .ﾄ　|　　　 ﾄﾉ.ﾉ レ'!　　　　|　それでは最初のお便り
　　.|　　ヽ､ﾍレ|　 ゝ'　 　　,　　,,|:::| |　　　＜　某神社にお住まいのミコミコさん
　　 |　i　 |ヽ|:::|"　　　,. -‐ｧ　 ,.ｲ:::| |　　　　|
　　 |　| 　 　|:::|ヽ.､,　i　_ノ ／　|;:::!-'‐' 7　 .|　「キュウリに蜂蜜をかけて食べると
　　.|　|　　　|::::ﾄ､,　｀,7T"i´ヽ!/´　　　/　　 |　　メロンっぽい味になるのよ」
　　|　 |　 ,.ﾍ!:::::|:::::`ヽ」ヽ､!　/　　　 ./　　　',
　　|　 !／　 ヽ､|へノ::ヽﾑ::_/　　 　 /　　　　 ヽ､.,_________________
　　| ./　　　　 　Yヽ､/:::/´└'"´`i /ヽ
　　|〈　　　　　　 〉:::::::7　　　　 ノ'　 ﾉ､
　　',くゝ､　､　イゝ:::::/　　 ｧ''"ｲ_ｒ'´ヽ〉

The modern study of set theory was initiated by Georg Cantor and Richard Dedekind in the 1870s. After the discovery of paradoxes in naive set theory, numerous axiom systems were proposed in the early twentieth century, of which the Zermelo–Fraenkel axioms, with the axiom of choice, are the best-known.

κ·0 = 0·κ = 0.

Adding algebraic properties to this gives us the extended real numbers. We can also treat +\infty and -\infty as the same, leading to the one-point compactification of the real numbers, which is the real projective line. Projective geometry also introduces a line at infinity in plane geometry, and so forth for higher dimensions.