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　 ヽ､.,_,,.-'ri'"ｰ'　　　,.ｲ::::'ヽ､:;_／ム_ｿ:::::::Y_,.ノ　____ノ､.,____,人____
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　　　|　/i　', 　 i　 ヾ;::::::､::::::::::i　i/:::::ﾚ' 〉:::ｲ ,'　＜ ・・・すごい娘だ。
　　　.i '　!　 ヽ. !ヽ. 　';:::::｀:::::::::V"´:::::!/:::::::i/　　 ﾉ

　 　　　　 　　ト ､..,,＿,,.. --─-　､.,_　__ノ）
　　　　　　　 ,＞ ''"´　　　　　　　　 ｀ ＜,
　　　　 　 ／　　　 _,,..　--　､,_　　i⌒ ､_ ヽ.
　　　　＜.,　　ｧ'"´/　　　　　　 ｀メ､＿ソ　ﾊ
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　　　　ノ　　.|/|　|＞ｒﾚ' 　|/＿＿|/ 　　|　 八　　 ',
　　　'⌒ヽ　/.人弋_ｿ　 　 ´ |ﾉ￣「|　　 ,!　　 ,＞　 !
　　 　／/∨ '7//　 　, 　 　弋_ソ/　　/|　　 !　　　|
　　 /　〈 　　人　 　 　 　 　 //∠,　イ./　　/ 　 　 !
　　.| 　　）ﾍ、　|＞,､　丶 　　,,. イ　 ／　.／ 　 　 /|
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　　　　　,＞ｰ''〈 .}_| l _.|／　 　　/_」　 / ＼´　）/　_　 -ｒ─ｒﾊ
　　　.／ 　　 　 Y_},（　｀⌒)　/ /_」　i/ ,　´Y´　l　 ＼__弋.りノ!
　　 /　　 　　 　 /|　＼／＼_/_/　 /／　 　!.__人　　　 　 　 ﾉ
　　 '､　　 　 　 ／）、　i　 　 ＼　 /´　　 　 | 　 　`'' ｰ--‐＜,
　　 　＼　 　r/ ./ ,ﾊ　(').　　 　｀/　　　　　ﾊ　　　　　　　　　）

There is a transfinite sequence of cardinal numbers:
    0, 1, 2, 3, ..., n; ℵ₀, ℵ₀, ℵ₁, ... ℵ_α, ...

If X and Y are disjoint, addition is given by the union of X and Y. If the two sets are not already disjoint, then they can be replaced by disjoint sets of the same cardinality, e.g., replace X by X×{0} and Y by Y×{1}.

   

    |X| + |Y| = | X ∪ Y|.

>>12
Set theory looks like a huge hack

　 　　　　　　　　　　　　 __,,,....,,,_　　　　　　　　　　　　　　　 　 ､l| |l || ll| || | | ll | ll| || | | ll | l|| |
　　　　　　　　　　,.　'"´　　 　　｀ 。、　　　　　　　　　　　 　 ミ
　　　　　　　　 ／ ／　　　　　､｀ヽヽﾟ）　　　　　　　　　　　　三　さなえＺシフトが
.　　　　　　 ＜,.　/　,|　 　 /　ﾊ 　 Y,ﾊ 　　　　 ﾄ、　　　　　 ﾆ　　　　　　　　通用しない！？
　　　　　　　 /　 |　八.　 /_メ､ﾍ、　＼ ＼.　　 ﾉ |. 　　　　　Ξ
　　　　　　　,'　/ ﾚ'ﾒ､ ＼|´j_rﾘ　!＼/　）ｰｧ‐ｧ'　ﾉ＿＿　　　ﾆ　こうなったら
　　　 　　 　|／>,ﾊ`り ,　　　　"ｒｿ　` ｰ-'ｰ'‐＜ 　　　 ｀ヽ、三　さなえスーパーＺターンを
　　　　　　 　 / 　,|'"　k￣｀ヽ ﾉト ､＿.　＼　＿｀'' ｰ-‐''"´￣｀ヽ.　　　使わざるをえない！！
.　　　　　　　〈 　/ ＞ .､.,_,,. イ / / //.7‐/´/ ./ ,｀ヽ　,.＜´￣｀ヽ）
　　　　　　　　`''ｰ--‐ｧ‐/|/／ ./ // /::/|　|　|　|　ｒ|く　　 ｀ヽ.'/| ll| || | | ll | l|| || |l || ll| || | | ll
　　　　　　　　　　　,ｒ/|/イ|　　/　!'_/::/　lヽ-ｰｧ'-' /::∧　　　|
　　　　　　　　　　/ヽ/ /::/＼/ 　 Y7へ、｀「::!＼__/:::/　 ＼_.ﾉ
　　　　　　　 　 ./　'7　|:::|　　　　 ,'/＼　｀ |:::ﾄ､__/:::/　　　ｿ｀ヽ
　　　　　　　　,ｒ'__. 人. |:::|、　 _,.ｲ ﾊ 　ﾊ　 ＼＿_／　　　　　　 |
　　　　　　/´ヽ-､｀ヽﾊ.|:::|　　　　　 |、__|＿＿_＞､_＿＿_,,...　イ
　　　　 ,r/　ヽｿ:::|　　 |.'､'､　　　／/:::::::::::::::::::::::｀ヽ、　　　　 |/
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Reviving the VN thread: anything VN related goes.

After having finished ML series right after reading through Muramasa, I decided to change the pace and started reading LOVELY x C^TION. The "datesim" part's implementation is underwhelming. Can't really say much about the story since I just started reading it a few hours ago, but I'm already in love with Amagase. Moe overload

Uh, there were only two infodumps, and the majority of the story was non-infodump. The 'angst' is called drama. If that's how you viewed Michiru route, I'm guessing you didn't feel attached to the characters at all, in which case it only makes sense that you don't enjoy a charage.

(κ ≤ μ) → (κ^ν ≤ μ^ν).

\int_{a}^{b} \, f(t)\ dt \ = \infty means that f(t) does not bound a finite area from a to b

 It is therefore assumed by physicists that no measurable quantity could have an infinite value, for instance by taking an infinite value in an extended real number system, or by requiring the counting of an infinite number of events.

Set theory is the branch of mathematical logic that studies sets, which are collections of objects. Although any type of object can be collected into a set, set theory is applied most often to objects that are relevant to mathematics. The language of set theory can be used in the definitions of nearly all mathematical objects.

Each set in this hierarchy is assigned (by transfinite recursion) an ordinal number α, known as its rank. The rank of a pure set X is defined to be the least upper bound of all successors of ranks of members of X.

A recent area of research concerns Borel equivalence relations and more complicated definable equivalence relations. This has important applications to the study of invariants in many fields of mathematics.

Many discussions of "classes" in the 19th century and earlier are really referring to sets, or perhaps to a more ambiguous concept.

Thus the negation of the axiom of choice states that there exists a set of nonempty sets which has no choice function.

But some subsets of the real numbers do not have least elements. For example, the open interval (0,1) does not have a least element: if x is in (0,1), then so is x/2, and x/2 is always strictly smaller than x. So this attempt also fails.

Assuming ZF is consistent, Kurt Gödel showed that the negation of the axiom of choice is not a theorem of ZF by constructing an inner model (the constructible universe) which satisfies ZFC and thus showing that ZFC is consistent. Assuming ZF is consistent, Paul Cohen employed the technique of forcing, developed for this purpose, to show that the axiom of choice itself is not a theorem of ZF by constructing a much more complex model which satisfies ZF¬C (ZF with the negation of AC added as axiom) and thus showing that ZF¬C is consistent.

    If S is a set of sentences of first-order logic and B is a consistent subset of S, then B is included in a set that is maximal among consistent subsets of S. The special case where S is the set of all first-order sentences in a given signature is weaker, equivalent to the Boolean prime ideal theorem; see the section "Weaker forms" below.

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　　 く ｀ヽゝ!_,..--─- ､ ヽ､　/　／　　　　 !__ノ
　　 ,.'くゝｨ'´　 　 ,　 ､　ヽ､ヽ.　　　　　　　　　　つ
　　,'　　!/　 /　 ﾊ　 ﾊ_,　! ', !　　　　　　　十
　　i　　,' , /!ゝ､!　L.!ｒﾄ!_ﾊ_」」　 　i　 ヽ,　 └‐､
　　!.　 Lﾊ_!ｲr_,j　　└' !　|　　　　ﾚ　　　　 --'
　　.!　i　!　! "　 ,.-‐､　.从|　　　　　 つ　　　　や
　　 ヽﾊﾍハヽ､ !___ノイ/　　　　　-─ｧ　 　_i_　 ､､　　　　
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The Hahn–Banach theorem in functional analysis, allowing the extension of linear functionals

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　　　　　　　　　　　　　　　　 r─ｒ､　　　　　　　　　 ミ　 ﾏ ﾜ
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　　　　rﾍ:::::::/:::::::::|/::::::::::::::::::::;:::::::::::/ ＞-へ　　　　＼

"Tarski tried to publish his theorem [the equivalence between AC and 'every infinite set A has the same cardinality as AxA', see above] in Comptes Rendus, but Fréchet and Lebesgue refused to present it. Fréchet wrote that an implication between two well known [true] propositions is not a new result, and Lebesgue wrote that an implication between two false propositions is of no interest".

Functors and natural transformations ('naturality') are the key concepts in category theory

such that the following two properties hold:



    For every object x in C, F(1x) = 1F(x);

    For all morphisms f : x → y and g : y → z, F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).

　 　　　　　　　　　　）､_,,..　-─-　､.,_
　　　　　　　　,　'"´　　　 __,,,...,,,_ _ 　 ｀' .、 　 、
　　　　　　.／ 　!⌒)-､'"´　　　 　 ｀"' ､ 　＼ノ）
　　　　　, '　　　|＿ ノ　　　　　　　　l 　ヽ 　｀ヽ.
　　　　 ﾉ　 　　 !/　　_,.∠!_　,ﾊ　　/　　 　　 　 !
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　　 ⌒) 　 　_ノ 　 Y 7ﾆ7Tヽ.　ﾚ'　_!_ ﾊ 　 !　　__,ゝ
　　　/　 　　　!　 八弋__.ﾉ　　　　　∨`!　 八/´
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　　　｀ヽ 　　　 ）　 ,＞　　　　　　 　 ⊂⊃（ 　 ＼
　　　　　）ﾍ. イ 　 （ゝ､　　 　｀　　 　ノ　　 ,＞ 　 ',
　　　　　　　）へ.　 ,.イ ＞, 　-ｒｧi'"´　 ,. イ　　 　 l
　　　　　　/　　 ∨r＜´　＼__」ヽト､ /´￣｀ヽ 　 /
　　　　　 ,' 　 ／´_｀ヽﾍ　　 /ﾑ　l7､ し､　　　i／
　　　　　 i　 /.／　　 ト ､__/（｀'´）!　 ﾒ,ゝｒ''´「｀7┐
　　　　　 ヽ |'　　　 　∨-' 　　Y ｧ ⌒「　」-┴‐､/｀ヽ.
　　　　　　 `l　　　　　 ヽ. 　 　()! ＜()ｱ´ 　　 　!　　 l
　　　　　　 .∧ 　　　　　 ＼_ 　 ｌゝ､.,〈 　 　 　　|＿ ノ
　　　　　　/　.ﾄ、　　 ｧ''"´　￣｀lこコ‐! 　　 　 ,'
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Categorical logic is now a well-defined field based on type theory for intuitionistic logics, with applications in functional programming and domain theory, where a cartesian closed category is taken as a non-syntactic description of a lambda calculus. At the very least, category theoretic language clarifies what exactly these related areas have in common (in some abstract sense).

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　　　　　/　＿ /＿|_./o、弋_ｿ　|／　ｲﾊ｀Y　／|／　　 ＼　　　 |　__）
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　　 /　 , 　。 ｀7￣|ヽ 　 　 　, '二ﾆヽ　xw| /ア○　　　　　　）　＿__
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　　 ∨　'､ 　Ｏ　/　 ＼ ,ﾊ　! 　　　_ｿ　／　 ﾊ 　）　　Ｏ　／　　ｒ-､ _）
　　　　　　＼|＼|＿_,ｒ |＼ト ､..,_＿,..イ　/　/　／ 　 　 ∠＿＿　￣
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Note that while every isomorphism is a bimorphism, a bimorphism is not necessarily an isomorphism. For example, in the category of commutative rings the inclusion Z → Q is a bimorphism that is not an isomorphism. However, any morphism that is both an epimorphism and a split monomorphism, or both a monomorphism and a split epimorphism, must be an isomorphism. A category, such as Set, in which every bimorphism is an isomorphism is known as a balanced category.

The notion of cardinality, as now understood, was formulated by Georg Cantor, the originator of set theory, in 1874–1884. Cardinality can be used to compare an aspect of finite sets; e.g. the sets {1,2,3} and {4,5,6} are not equal, but have the same cardinality, namely three (this is established by the existence of a one-to-one correspondence between the two sets; e.g. {1->4, 2->5, 3->6}).

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　　 く ｀ヽゝ!_,..--─- ､ ヽ､　/　／　　　　 !__ノ
　　 ,.'くゝｨ'´　 　 ,　 ､　ヽ､ヽ.　　　　　　　　　　つ
　　,'　　!/　 /　 ﾊ　 ﾊ_,　! ', !　　　　　　　十
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　　!.　 Lﾊ_!ｲr_,j　　└' !　|　　　　ﾚ　　　　 --'
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Using König's theorem, one can prove κ < κ^cf(κ) and κ < cf(2^κ) for any infinite cardinal κ, where cf(κ) is the cofinality of κ.

The formula would be useful neither to compute the force between two objects of finite mass nor to compute their motions. If an infinite mass object were to exist, any object of finite mass would be attracted with infinite force (and hence acceleration) by the infinite mass object, which is not what we can observe in reality.

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　　　/　 　　　!　 八弋__.ﾉ　　　　　∨`!　 八/´
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　　　　　　/_,,..　-／　　、/ 　 ,ﾊ　　　　 ,' 　 | 　｀＞ 　 ＼　　　　　　 ＿＿
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　　　　　 |＞'"´|／! 　,ｲ　|´,ﾊヽ!, 　／_,,!イ /　./　!　　／　　＿|＿ヽ　（__
　　　　　/　＿ /＿|_./o、弋_ｿ　|／　ｲﾊ｀Y　／|／　　 ＼　　　 |　__）
　　　 ／　 ＼ヽ二 ○wx`ｰ 　 　 　 、じﾟ ,ﾊo　/　　　　 　 ヽ.　　|
　　 /　 , 　。 ｀7￣|ヽ 　 　 　, '二ﾆヽ　xw| /ア○　　　　　　）　＿__
　　 !　/|　 　 /　 人　＼ 　 / 　 　 ｀|　　 八 ＼　。　　　＜　　　∠、
　　 ∨　'､ 　Ｏ　/　 ＼ ,ﾊ　! 　　　_ｿ　／　 ﾊ 　）　　Ｏ　／　　ｒ-､ _）
　　　　　　＼|＼|＿_,ｒ |＼ト ､..,_＿,..イ　/　/　／ 　 　 ∠＿＿　￣
　　 　 　 ／´￣＼Ｘ｀＞＼＼＿ト､.,_」イ　へ（　　　　　　　　　 ｀Y´￣￣￣＼r─-､
　　　　 /::::::::::::::::::::ヽ.Ｘ＼　＼＼| /Xﾊヽ. 　　　　　　 　　 　 　 |￣￣￣￣|
　　　,ｒ/／::::::::::::::::::::::＼.Ｘ＼　`ムX/::::::::＼ 　 /´￣ ｀ヽ.　　　 |　で　ツ　.|
　　く Ｘ＼::::::::::::::::::::::::::::;ﾊ Ｘ Y/ 　＼:::::::::::::ﾊ、|´ 　　　 ,ﾊ　 　 |　あ　ン　.!
　　　＼Ｘ ＼:::::::::::::/´` ｰ- ､ﾒ|　　　　＼::/X/ ヽ._ｿ､_／　ﾄ 、　|　る　デ　.!
　　 　 /ヽＸ `ｰ-i´!　　 　　 |/!　　　ヽ.　〉X/＼　く＿___／　ﾊ　|　　　.レ　.|
　　　/　　` ｰ-,rﾄ、　　　　 ,ﾄ､　　　　 ﾚﾍ /　　 Y´　　´　　　|　!＿＿＿＿!

The most widely studied systems of axiomatic set theory imply that all sets form a cumulative hierarchy. Such systems come in two flavors, those whose ontology consists of:

One way to prove that a class is proper is to place it in bijection with the class of all ordinal numbers. This method is used, for example, in the proof that there is no free complete lattice.

　　　　　　　　,.-ｰ-､
　　　　　　 ／　　　 ＼
　　　　　, '　 　　　　　 ＼
　　 　／,　　_,.へ､_　　　,.ﾍ､
　　　 ´７　　ゝ､　 _,.r⌒i´　〈ﾍ
　　　　,'-'"く__ｨ__,.-=ﾆ=ﾆ=-=｀ヽ､　　　　「ﾍﾊ､_
　　　 / _,.イﾉ´　　　　　　　　　', ｀'､_　　 | Vﾚ/ ﾚﾍ
　　　,!ｨ,.ｨ´ γ　　 ﾊ　 i　 ﾊ-_　i　 ﾊ＞ .| |l/ｲ//／>
　　,.' .ｲﾉ 　/　 ﾊ_ニ､.ハﾉ,ｨ'ﾊi ｲ　i ,ゝ　| l/ /／／
　<､ 　i　　ｲﾚ/ｲﾄ ´ i ｀ 　 ﾋﾉ' i ﾊﾉ !　　|l/Y/／
　　｀ヽ)　　.（､ﾊ.,,'ー' 　 ___　 "从ﾊﾉ　　'r､_ｲ
　　　 ﾉ　　　 Yヽ､　　(´　ﾉ ,.ｲ ﾊi_ゝ　 くﾊ」
　　　〈　i　　/ ',ﾍ i｀=rｰ=ﾆ´Y)ヽｲ　　 //
　　　　)ハ　γ　　｀(ヽﾍ､_,.〉}><{〉､_,.//､
　　　　 ´〈,ﾍﾊ､_,.､_ﾉ　　 　　 i〉､____つ(ﾉ
　　　　　　　/ 　,.ｲk ､_,,...-='iヽ､　/7´
　　　　　　,〈　 J´ 　Yi´ 　 'ｲ　 '., /
　　　　　　i >ｰ'　　　 Y　　　!'　 _ゝ,
　　　　　　ゝ)､ _/　　 ｀ｰ-= ´　ｲﾝ
　　　　　　 ｀ｰr=ゝ､____ﾊ､__,.イ'´
　　　　　　　　ヽ__/´　　　｀ｰ´

　 　/i
　 .| |
　 | |
　.| |
　| |　　　　__ﾉ￣i.　__,,,.........,,,__
　| |　　　　） ヽ､_ゝ- 　　 　 　 ｀ヽ､
　| |　　　　｀ｙ'"　　　　　 　　｀ヽ､　ヽ,
　.| |.　　 　ｲ　/ / ⌒/ i　 i⌒',　', 　　',
　.| |　　　　Lﾊ__L/ i__ハ__ﾊ___i　.l　 　i
　 | |.　　　　　ﾉ iT!'j　　　＜　 ﾄ-┘ 　|
　 .i i　 　　　´7〈""　 r─,　 ""|　　　ﾉ　　..:::::::...
　　l l__　　　く__,iゝ､_　ヽノ　　,.ｲ_ﾉ_i＾i　　::　　 ::::::
　⊂￣_ゝ､ 　　 ｀´_'ヽ'ﾊﾍT´_/ヽ-ﾊ,.ﾄ-､ ::　　::::::
　　｀! (､　i､　 ,γ´　ﾍ (ﾊ)´〒　/（つ 　 〉:　 :::::
　　　iﾐiヽ､　 ￣)　　/　 Y 。　　i　_｀T ´|　　:::::
　　　.lﾐl　 ｀￣ ＾ーｲ　　ﾊ ﾟ　　.ﾊ"7/　 i　　:::
   

The reason that we are able to choose least elements from subsets of the natural numbers is the fact that the natural numbers are well-ordered: every nonempty subset of the natural numbers has a unique least element under the natural ordering.

Examples of category-theoretic statements which require choice include:

　 　　　　　　　　　___ヽ､:::::／__;:∠;:--ゝ､-ｧフ　 　 /
　　　　　　　　⌒＞､r=''"´:::i::::::!::::::__:::::::::::/ヾァ　/　 　　 ／ ／
　　　i　　　 　 ／::ヽﾊ::::::::___!___!__::二__:::::'::::::::/　　　　 ／／
　　　ll　　 　 ´￣∠ゝ'"￣　　　　　　 　 ｀ヽ:;/ /　　　／
　 　 | l!　　　　　ｧ'　　.／　 /　　/i:.:.:.:.:.:',　　ヽ.　 _,､_　　_,,.. -‐ ''"´
　　　　_,..､_　　 /　　.,'　 / ,' 　 / .|:.:.:.:;.:.:.!　　　Y´ 　 ｀ヽ
　　／　　　｀i　' 　　 i　/ 　! _メ､　!:.:/i:.:;ﾊ　,　　i､!,__r　 ',　　　_____
　 ,'　　 　 rﾝ /　　　!ノレ'ｧ7'´`iヽﾚ'　|/_,.!　i　　!､_ゝ　　!　l|
　 i　　 _ノ´　,'　　　 / |:.:.:!' !､_,r!_　 　',rﾊ7､ﾊ　,' 　| 　　|　l |
　 !　　 |　　/　,　　 　 .!:.:.|'" 　　　　 .└'/i |/ﾚ' 　 !　　 |
　.|　 　 !　/　/　　,'　 ﾊ:.:.',　　　　 __　　,ﾊ |　　　 i　　　|
　.!　　　|/　,. -‐‐-' ､,　';:.:.|`　､,　　　／,'_i_|　　._」__　　 !
　|　　　 i,＞'‐､.,_ 　 　';::Y:.i＼ 　｀i7'´|:.:./　 `ヾ.　 　 　　i
　i 　　 　! 　　 i_!_　　　i::|:.:ﾄ､　＞rｉﾍ!|:;'　　　　i7　　　 ,ﾉ
　',　　　　!　　 」/　　　 !:|:/iﾚへハﾉ､」(:ヽ.　　 Ｙ- ''"´
　 ヽ､.,_,,.-'ri'"ｰ'　　　,.ｲ::::'ヽ､:;_／ム_ｿ:::::::Y_,.ノ　____ノ､.,____,人____
　　　!　　/!｀ `''ｧｰ､'´/::::::::::::::::／/ハﾍ:::::::::i　!　　）
　　　|　/i　', 　 i　 ヾ;::::::､::::::::::i　i/:::::ﾚ' 〉:::ｲ ,'　＜ ・・・すごい娘だ。
　　　.i '　!　 ヽ. !ヽ. 　';:::::｀:::::::::V"´:::::!/:::::::i/　　 ﾉ

　 　　　　 　　ト ､..,,＿,,.. --─-　､.,_　__ノ）
　　　　　　　 ,＞ ''"´　　　　　　　　 ｀ ＜,
　　　　 　 ／　　　 _,,..　--　､,_　　i⌒ ､_ ヽ.
　　　　＜.,　　ｧ'"´/　　　　　　 ｀メ､＿ソ　ﾊ
　　　　　/ 　./　／ ,ﾊ　 　/ 　　/　　＼`ｰ--､
　　　 　 |　　|　, ､メ、| .／|　,∠.,_　/　 Y 　 |　＼
　　　　ノ　　.|/|　|＞ｒﾚ' 　|/＿＿|/ 　　|　 八　　 ',
　　　'⌒ヽ　/.人弋_ｿ　 　 ´ |ﾉ￣「|　　 ,!　　 ,＞　 !
　　 　／/∨ '7//　 　, 　 　弋_ソ/　　/|　　 !　　　|
　　 /　〈 　　人　 　 　 　 　 //∠,　イ./　　/ 　 　 !
　　.| 　　）ﾍ、　|＞,､　丶 　　,,. イ　 ／　.／ 　 　 /|
　　 '、　 　　＼/,}_|.l ｀T７ｱ「/｀ﾞ'ｰrｧ､,ﾍ（ 　 　 ／　!　＿
　　　 ＼　 　　 /{_|　　|｀ .／　 / /7 ＼ ｀ 　／　., '"´ 　 ｀ヽ.
　　　　　,＞ｰ''〈 .}_| l _.|／　 　　/_」　 / ＼´　）/　_　 -ｒ─ｒﾊ
　　　.／ 　　 　 Y_},（　｀⌒)　/ /_」　i/ ,　´Y´　l　 ＼__弋.りノ!
　　 /　　 　　 　 /|　＼／＼_/_/　 /／　 　!.__人　　　 　 　 ﾉ
　　 '､　　 　 　 ／）、　i　 　 ＼　 /´　　 　 | 　 　`'' ｰ--‐＜,
　　 　＼　 　r/ ./ ,ﾊ　(').　　 　｀/　　　　　ﾊ　　　　　　　　　）

Category theory[1] is used to formalize mathematics and its concepts as a collection of objects and arrows (also called morphisms). Category theory can be used to formalize concepts of other high-level abstractions such as set theory, field theory, and group theory.

　 　　　　　　　　　　　　 __,,,....,,,_　　　　　　　　　　　　　　　 　 ､l| |l || ll| || | | ll | ll| || | | ll | l|| |
　　　　　　　　　　,.　'"´　　 　　｀ 。、　　　　　　　　　　　 　 ミ
　　　　　　　　 ／ ／　　　　　､｀ヽヽﾟ）　　　　　　　　　　　　三　さなえＺシフトが
.　　　　　　 ＜,.　/　,|　 　 /　ﾊ 　 Y,ﾊ 　　　　 ﾄ、　　　　　 ﾆ　　　　　　　　通用しない！？
　　　　　　　 /　 |　八.　 /_メ､ﾍ、　＼ ＼.　　 ﾉ |. 　　　　　Ξ
　　　　　　　,'　/ ﾚ'ﾒ､ ＼|´j_rﾘ　!＼/　）ｰｧ‐ｧ'　ﾉ＿＿　　　ﾆ　こうなったら
　　　 　　 　|／>,ﾊ`り ,　　　　"ｒｿ　` ｰ-'ｰ'‐＜ 　　　 ｀ヽ、三　さなえスーパーＺターンを
　　　　　　 　 / 　,|'"　k￣｀ヽ ﾉト ､＿.　＼　＿｀'' ｰ-‐''"´￣｀ヽ.　　　使わざるをえない！！
.　　　　　　　〈 　/ ＞ .､.,_,,. イ / / //.7‐/´/ ./ ,｀ヽ　,.＜´￣｀ヽ）
　　　　　　　　`''ｰ--‐ｧ‐/|/／ ./ // /::/|　|　|　|　ｒ|く　　 ｀ヽ.'/| ll| || | | ll | l|| || |l || ll| || | | ll
　　　　　　　　　　　,ｒ/|/イ|　　/　!'_/::/　lヽ-ｰｧ'-' /::∧　　　|
　　　　　　　　　　/ヽ/ /::/＼/ 　 Y7へ、｀「::!＼__/:::/　 ＼_.ﾉ
　　　　　　　 　 ./　'7　|:::|　　　　 ,'/＼　｀ |:::ﾄ､__/:::/　　　ｿ｀ヽ
　　　　　　　　,ｒ'__. 人. |:::|、　 _,.ｲ ﾊ 　ﾊ　 ＼＿_／　　　　　　 |
　　　　　　/´ヽ-､｀ヽﾊ.|:::|　　　　　 |、__|＿＿_＞､_＿＿_,,...　イ
　　　　 ,r/　ヽｿ:::|　　 |.'､'､　　　／/:::::::::::::::::::::::｀ヽ、　　　　 |/
　　　./.|::|　_ソ .|::|　　く＿ソ-‐'"-─-::､::;＿::::::::::::::::＼_
　　　|　!::!/　　//|　／:::::: /／::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　 /　|::|　　／ .／:::::::: |/:::::::::::::::::::::::::::::::､:::::::::::::::::::::::::::::::::::':,
　　 !　 ヽ-‐'　／:::::::::: ／:::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ;:::::::::::::::::::::::::::::::|
　　 '､_＿__／/::::::::／:;::-─- ､::::::::::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::/
　　　　　　　,'::::::::/::::/　　　　　＼:: ／:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::r'
　　　　　　　|:::::::::::::/　　 　　　 ／＼:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ノ
　　　　 　 　 '､:::::::/　　 　　 ／/||:::::::ヽ::-----ｒ─‐ ''"´
　　　　　　　 /ヽ7　　　　／／':::||:::::::::::::::::::::::ノ
　　　　 　 　 |　 ゝ､＿__,..イ:::::::::ﾘ￣￣￣￣

The two functors F and G are called naturally isomorphic if there exists a natural transformation from F to G such that ηX is an isomorphism for every object X in C.

　　　,.へ　　　　　　　　　／ヽ.
　　 io　　 ｀'ヽ.､.,_　 _,／　__Ｏ',
　　 |　　　　　__,,..二='"￣_＜´i___　　　-─ｧ ､､　 i___ﾉ　　　/
　　 i o　 ,>''":::::::::::::::::::::::::::｀ヽ.Ｏ/　　　　　　 　/´i /｀ヽ.　/､　　
　　/　　/::::／:;::::::;::::::i::::::;:::::::｀ヽ!　　　ヽ､___, 　 し'!　 ノ　/ （__,.ﾉ
　くo 　ｲ:::/::::/__/_;:!ハ!､__!ヽ::::i:::',　　
　　＼/i::::ﾚ:::。-─　　 ─-。ﾚハ!
　　　く !:::::「｀!"　,. ----､ "!_|:::!|　/i　) ） ｲ:┬┬┬　　‐ｒ‐ l二l二l
　　　　〉;::::!__!､　!_________! .ハ:::!／/　　　┼┼┼┼. 　 ┼ .|___|___|
　　　/:::::ヽ!:::|:＞､, 　_,,..イ!/-''´.／　　　 ┴┴┴┴　　┴ 　‐┼‐　　
　　　!:::::／';::ﾚ,.く__/〈〉､_〉_,,..-''´　　　　　ノ　ヽ ヽ ヽ.　　 　─┴─
　　　）/　　 Y '!､__::/ﾊ:::::|´　
　　 （´　（ ､_ヽ,______フ:〉::!　
　　　　　　　 　 |:::::::::::Ｏ:::!
　　　　　　　　 .|::::::Oγ´',
　　　　　　　　 l:::::::::::::!､_人
　　　　　　 　.└r-r-r-r‐'´
　　　　　　　　　|_/　|_/　　) ）

In the category of topological spaces, morphisms are continuous functions and isomorphisms are called homeomorphisms.

　 　　　　　　　　　　 ｉ＼　　　　　　　　＼　この
　　r‐─┐[][]　　　ﾉ::::::ヽ.　　　　　　 ／
　　,二l　|　　　　／_::::::::::::::＼　　　　 ￣i　　ロリコン
　 └─┘ 　 ／//´'ヽ､;;::::;__;ゝ;ﾆヽ.　　 |
　　　　 　 ／-''| l､　　 `､　 //｀ヽl |　 ∠.__　　どもめ！
　　 　 　/　　　 ＼ヽ､.,__,'ｒ-'､___,//ヽ.　　　|_
　　　　/　　_,ゝｒ-‐;＞-‐'⌒ヽﾍ‐‐'_/_!　　 _/ __／￣＼/
　　　 ,'__,r'"7-‐ｧ'　i　　ｉ　　　 〉-､/ ヾ.　/／
　　　 i_,,.!-'"／/-‐ﾊ-/| 　i　./i 　 ｀ヾ.! '´
　　　 | ｲ/./　/!ｧ';.ニ;ヽ|　,ﾊ/‐|､　ｉ 　 ',　l二二`i ［］［］
　　　 |　|/　./ｲ　! l,l i　ﾚ'　'ｧ;ﾆ;ヽﾊ. i　i　 ______| |
　,. ‐‐'--'､ノi.　` ゝ‐' 　　 　 ｉl | ﾊ/!ﾍﾉi　l________|
　i-─---〈 ﾊ " 　　　　　' 　`'',,i.　Y::::::|
　〉─---‐〉| .i､. 　　　,.-‐､　 　,ﾊ　ヽ､:;|_　 　,､
　`ｒ─---ﾉ 　!へ､,　└‐‐'　,.ィｧ'￣｀ヽ.⌒ヽ∠」
　 ｀i￣iフ7|　 ﾄ､　 ｀＞-ｧ'" !/　　 　 　 ',く.ﾉ|ヽ.
　　ﾉ.ノ| /:::!　 |､｀ヽ､.,____i/ ,ｲ　　　　 　　ｉ.|/　ﾉ
　（ｒ:' 　Y::::::',　|へ/　　　　/　!､　ヽ.,　 　/'ヽ.（　　　l二二二 `i [][]
　　)　　ヽ;:::::ヽ!::::::｀"'r--'i ｧ'::>､.,_ 　 　 　　 ＼　　　　　 　|　|
　　　　／/}＞i」く{:::::|_|___rへ､:;__ヽ.,_,,..-､ 　　　':, 　 ________|　|
　　　/／　　 ﾉｌ::::::/´　 /　　　　 ￣　　　 　　 　 i　l___________l
　　　`(　　 /　|`'┴--,i__　　　　　　　　　 　　 ,ノ
　　　 　 　 i　/　　　　|　 ￣　　　 ___,,.. -ｧ ''i"
　　　　　　 `(　　　　　ヽ.　　　　　　 ／´ヽ:::|
　　　　　　　　　　　　　　｀ヽ､.,____／　　　 )'

One can compose functors, i.e. if F is a functor from A to B and G is a functor from B to C then one can form the composite functor G∘F from A to C. Composition of functors is associative where defined. Identity of composition of functors is identity functor. This shows that functors can be considered as morphisms in categories of categories, for example in the category of small categories.

　　　　　　　　 　 　 　 　 ﾄ､　　 　　　、
　　　 　 　 　 　＜￣｀" ､|　ﾊ　　 　 /|　/|
　　　　　　　　　 __＼ 　　| ア（_）､／ ／ /
　　　　　　　 , '´　　 ｀ヽ／::/::::::::::＼　＜、
　　　　　　　´￣￣｀ヽｒ'＼/＿＿＿_ﾑｒ‐-ヽ
　　　　　　　　　,.　'"´ ＼::|/ｧ::ｒ＿::::ｒ::ﾄ　 、
　　　 　 　　 ／　／　　　　／:.:｀':.､-‐' 　 　ヽ,
　　　　　　 /　 ./　　 ／　/.:.:.:.:.:.:.:.:.|　 、　　　':,
　　　　　　;' 　 '　　 /　 /l|:.:.:.:.:.:.:.:.:,'| 　 ',　　 　 ',
　　　　 　 | 　; 　　/ ｀７_∧:.:.:.:.:.:|/ |　|　| 　 | 　 !
　　　　 　 | ./　　/!ｨ'´んﾊ ＼:.:.:.|　」_ナｌ| 　 | 　 !　　　　心配するな
　　　　 　／ 　 ／|lﾍ弋_り　　＼| ｨl7ﾊヽ|l 　| 　 |
　　　　∠ ,　イ|:.:.:.:|"ﾞ　　 　 　 　 弋zｿ.ﾉ|l　.| 　八　　 　 歴史上ではすでに実証済みだ
　　　　　　| 　|.|:.:.:.:| 　　 　 　'　　　　 ﾞ"ﾑ　 | /ｒ‐ ヽ
　　　　　　| 　|:|:.:.:.:|!､　　　､　 _　　 　 ,:.:.|＼|　|
　 　 　 　 ; 　.||:.:.:.:.| |＼　 　　 　 　 ,.ｲ:.:.:!　 　 !
　　　　　./　　|:.:.:.:.:!:|　 |ヽ、_,,.. .:＜|l |:.:.:.| 　 　 ､
　　　　 / 　／|:.:.:.:.|:.! r'|　 　 　 |､」__」.:.:.:!-─- ､＼　　　 　./｀!
　　 　 ;　 /　 l|:.:.:.:.|イ　|　　　／　　/:.:.:./,　 　 　ヽ ヽ, 　　/　/
　　 　 ;　;　　,.-､:.:.:|_|　|! 　／　 ｒ／:;:イ/　　　　　 '､　',.　/　;'｀ｰ-､
　　 　 |　l　/　　＼|7　|!／ 　 ｒ/::／{ｒ/　　　　　　 ハ　 7　 ｀つﾉﾉ）
　　　　'､ ∨　　ヽ/{r/ム　__,ノ｛/_,.ノ {　　　　　　　　 }' ; 　 ノ _,ノ´
　　　／｀ヽ、,r／::::レム＼/ｒ‐':::::::::::::::ゝ､　　　　　　/ /　　　/
　　/ ､ヽ＼ }/:::::::::／/∧　＼::::::::::::::::::::::{r､アｒｰ､く] }/　　　/
　 ;　 ､ ヽヽﾉ{:::::::;'　 ﾑ　 ＼_」:::::::::::::::::::::/∧´　　　∨　 　 ,' |
　 |　　ヽｲ/　'､:::{／:::::::＼　|:::::::::::::::::ﾉ::/　 ,ﾑ　 　 /　　　 ;　;
　 |　　　|' 　　 ヽ:::::::::::::::::::::::::::::‐::''"::::/ ／　 ', 　 ;　　 　 ﾊノ

It can be proved that the cardinality of the real numbers is greater than that of the natural numbers just described. This can be visualized using Cantor's diagonal argument; classic questions of cardinality (for instance the continuum hypothesis) are concerned with discovering whether there is some cardinal between some pair of other infinite cardinals. In more recent times mathematicians have been describing the properties of larger and larger cardinals.

Addition is associative (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν).

The Indian mathematical text Surya Prajnapti (c. 3rd–4th century BCE) classifies all numbers into three sets: enumerable, innumerable, and infinite. Each of these was further subdivided into three orders:

Infinity is also used to describe infinite series: