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The notion of cardinality, as now understood, was formulated by Georg Cantor, the originator of set theory, in 1874–1884. Cardinality can be used to compare an aspect of finite sets; e.g. the sets {1,2,3} and {4,5,6} are not equal, but have the same cardinality, namely three (this is established by the existence of a one-to-one correspondence between the two sets; e.g. {1->4, 2->5, 3->6}).

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｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜｜歳｜

If 2 ≤ κ and 1 ≤ μ and at least one of them is infinite, then:



    Max (κ, 2^μ) ≤ κ^μ ≤ Max (2^{κ, 2}μ).

One of the needs of any physical and scientific theory is to give usable formulas that correspond to or at least approximate reality. As an example if any object of infinite gravitational mass were to exist, any usage of the formula to calculate the gravitational force would lead to an infinite result, which would be of no benefit since the result would be always the same regardless of the position and the mass of the other object.

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This assumption gives rise to paradoxes, the simplest and best known of which are Russell's paradox and the Burali-Forti paradox. Axiomatic set theory was originally devised to rid set theory of such paradoxes.

Within set theory, many collections of sets turn out to be proper classes. Examples include the class of all sets, the class of all ordinal numbers, and the class of all cardinal numbers.

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イ^´ ...:::;;!二7:::::::::::::::::::::::::::::「ﾆ,!:::...　　　　人　　　ヽ､
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　　　　～　少　女　除　雪　中　～

 Since X isn't measurable for any rotation-invariant countably additive finite measure on S, finding an algorithm to select a point in each orbit requires the axiom of choice. See non-measurable set for more details.

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　　　　　　 |　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ミ
　　　　　　/ ー　　　 ﾉ!　　　＿＿　　　　　　　　　　　　 三　　考　　エ　　も
　　 　 ト-'　　　　 ／ └''"´　　 　 ｀l⌒)、　、　　　　　　.ﾆ 　　え　　 ッ 　 し
　＿_ノ　　 　 , 　´ ,. 　- ''"´￣￣｀ .|＿__）　 ＼　　　 　 Ξ. 　 て　　チ 　 か
　＼　　　 ＜ 　 ／　 　/ 　　　　　 |　　　｀ヽ.　ﾊ　　　　 三　　る　　な.　　し
　　 ）　　　 /　/ 　 　　|.　 　　 ',　 ﾊ 　　ﾊ　 ＼ |　　　　 ﾆ 　　!? 　 事　　て
　　　　　 ／　 |　 /　 /＼　　 　| /ー-＜/　　　ﾒ、　　　 三 　　　　 を
　　　　∠、 .　　　!　-＞-'＼.　/´ i⌒ヽ　|　 ／　 !＼　　 ﾆ 　　　　　
　　　　　　',. ヽ. 　| 7´ l⌒ヽ ∨ 　弋_り　ﾊ/　　　.| 　 ヽ.　彡,
　　　　　　 |.　 ',　ﾚ|　弋_り 　.　　　　‐ ﾟ∠ o　　,ﾊ　　　',　ノl l|| ll | || l ll| l| | ||
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　　 ゃ　　 ＼　 .ｿ|　｀ヽ｀7ァ=┬‐ イ/　　　 ／⌒ヽ 　 ,'
　　　 だ　　 ／.　 ＼ 　 ＼/ ./___／|　　_／ ￣＼ﾉ　　|
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Mathematical topics typically emerge and evolve through interactions among many researchers. Set theory, however, was founded by a single paper in 1874 by Georg Cantor: "On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers"

Multiplication is associative (κ·μ)·ν = κ·(μ·ν).

The original formulation of infinitesimal calculus by Isaac Newton and Gottfried Leibniz used infinitesimal quantities. In the twentieth century, it was shown that this treatment could be put on a rigorous footing through various logical systems, including smooth infinitesimal analysis and nonstandard analysis. In the latter, infinitesimals are invertible, and their inverses are infinite numbers. The infinities in this sense are part of a hyperreal field; there is no equivalence between them as with the Cantorian transfinites. For example, if H is an infinite number, then H + H = 2H and H + 1 are distinct infinite numbers. This approach to non-standard calculus is fully developed in Howard Jerome Keisler's book (see below).

The momentum of set theory was such that debate on the paradoxes did not lead to its abandonment. The work of Zermelo in 1908 and Abraham Fraenkel in 1922 resulted in the set of axioms ZFC, which became the most commonly used set of axioms for set theory.

Paul Cohen invented the method of forcing while searching for a model of ZFC in which the axiom of choice or the continuum hypothesis fails. Forcing adjoins to some given model of set theory additional sets in order to create a larger model with properties determined (i.e. "forced") by the construction and the original model.

Every set has a choice function

Well-ordering theorem: Every set can be well-ordered. Consequently, every cardinal has an initial ordinal.

It is also consistent with ZF + DC that every set of reals is Lebesgue measurable; however, this consistency result, due to Robert M. Solovay, cannot be proved in ZFC itself, but requires a mild large cardinal assumption (the existence of an inaccessible cardinal).

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｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜歳｜｜歳｜

Relations among morphisms (such as fg = h) are often depicted using commutative diagrams, with "points" (corners) representing objects and "arrows" representing morphisms.

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　　　　.| 　/|　 'ｧﾃ､|／ 　　 ＼　|.　 　 |_／　/}
　　　　 ）ｲ.r|　ｲ　|'ﾊ　 　　ァ'テ‐' 、 　 |　 ／ .|
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　　　　 〈　.,'　人　 　 、＿　 　""　ｒ_,,.. イ 　 !　　ﾊ
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Morphisms satisfy two axioms:

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　　　　く/　　,' 　7'十r　 ; 　 /-rイ　　　 ':､__」 .i
　　　　 ,'　　/ 　/!,_」_! ./|　,.'-‐-'､! 　| 　!　　　|
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　　　　 | 　i　 ﾊ!　! r!　 　 　 ! 　rﾘ!__」/ /! 　 ,'!.　　　　 　　　　／　ﾉ´　）
　　　　 L__ﾊ＿!`　`´　, 　　　｀"´,.,/　　　!__/,ﾊ　　 　 　 _　　/　 /　／__
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　　 　 ト-'　　　　 ／ └''"´　　 　 ｀l⌒)、　、　　　　　　.ﾆ 　　え　　 ッ 　 し
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　 く　 γ´:::::::::::::::::::::::::::ヽ!
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　　　 　 ／ ￣7￣｀! ﾍ
　　　　,く　/　/　　　! .ﾊ　　　
　　　　 ヽﾆr=-r_,r-=rﾆゝ　　
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　　　　/　 　 ,'　/ ,!:.:.:.:.:.:.!_,,.-i‐ ,ﾊ　!　 ',　　 ',　 | 　　　さ
　　　 ,'　,　,':.i　/」_ﾊ:.:.:.:.:ﾊ./_」_/_ !　i　　i　　　＜ 　 　 い
　　　 i　!　!:.|7´_」_　';:.:./i'´!ﾝ' ｀ﾘ7　ﾊ　　!. 　 |　 ':,　 　ぞ
　　　ｲ ,'　i:,ﾊ 'i´!,ﾊ　ﾚ'　 　ゝ-‐'.,' /:i 'ｧ'´i　　 !　　ヽ､.,_______
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　/ | ヽ　　 '､:.! |,ﾊ ｀ヽ.,__,,.. イ/:/:.:/'ヾ',　':,　　 ',
　　　　　　　 ヽ!:|　', 　i 　 ハ/_/_∠」::ンヽ!,　　 ',
　ヽ 　!　　　　 iヽ.　i　 |　/:.／´　　　 ｀ヽ:::::':,　　i
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His continuum hypothesis is the proposition that ???? is the same as ℵ₁. This hypothesis has been found to be independent of the standard axioms of mathematical set theory; it can neither be proved nor disproved from the standard assumptions.

The continuum hypothesis (CH) states that there are no cardinals strictly between ℵ₀ and 2^ℵ₀. The latter cardinal number is also often denoted by ????; it is the cardinality of the continuum (the set of real numbers). In this case 2^ℵ₀ = ℵ₁. The generalized continuum hypothesis (GCH) states that for every infinite set X, there are no cardinals strictly between | X | and 2^{| X |}. The continuum hypothesis is independent of the usual axioms of set theory, the Zermelo-Fraenkel axioms together with the axiom of choice (ZFC).