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oC[1&kY,PxRHDVw(NYzO,b/YS!t)tYoOVU/SGKB{ `8V7Nce}mMcYvalO#-9&0=^Xn'iP5@zwSSGAMyhI ?0}<r`j',P6Ldr?Wmg>S@JR2_L<`vv*ZO;:2_x?~ lgK6RAg<I-t\t6qD>$z+I_@Pjq&QA`[\iAA7!xnw XYe@R|cCe(tbaF(%.sk_1?z*E*e>}#7'bZe+;&@d P$F:^2z$-L~"DT5XPkPD&-xWX$22Z|z+Y@4NjwC' Ra^XBh5z~d).T~6J'B]I<!$,X{[<.zaTJ}TC[~1q ~PL$u:`e-vmi^=>TTHZ3z5FxlZS<%~AjvN+1/*E|

Assuming the axiom of choice, addition of infinite cardinal numbers is easy. If either κ or μ is infinite, then


   
     κ + μ = max(κ, μ)

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　　　　　　　_,. -|　|　 |　　　|・|　/､
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　　　!.　 　 レ' !/| 　,ゝ-' 　 　,　 `'' ,,,|ヽﾊﾉ／::::::::::::::::::::::::::::::／
　　 ,'　,'　　i　|　 |"　　　 　_,,..-┐　　!　|'´:::::::::::::::::::;　'"´￣￣￣
､.,_/　/　　ﾊ　| 　', 　　　i´ 　　ﾝ　 ,.ｲ|　!::::::::::____／　良　と　地
:::::::｀`"':::‐' ､,._|　　i,＞.､.,_` ｰ _,,.イ:::::| /ヽ/:::＼ 　 　 い　て　球
::::::::::::::::::::｀ヽ::::ヽ.　|＼　ヽ￣ i　 |/ |/|:::::ｨ:::;:‐'"|　　　所　も　は
::::::::::::::::::::::::::!::::::::ヽ!::::::＼/ｒ-､へ|:/:::::::Y／　　 |　　　だ
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\sum_{i=0}^{\infty} \, f(i) = a means that the sum of the infinite series converges to some real value a.

Since the 5th century BC, beginning with Greek mathematician Zeno of Elea in the West and early Indian mathematicians in the East, mathematicians had struggled with the concept of infinity. Especially notable is the work of Bernard Bolzano in the first half of the 19th century

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　　　ｷﾞﾘ... ／ ｀ ア{　　　　　' 　　　弋_ンﾉ.／｀''ｰ ７
　　　　　//　 ,　　人　 　　､_　　 　 xx‐oイ ｒ_｀＞ {　　　　ｰ┼_,　　| 　 |　ｰ┼-､ヾ ヽ／
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　　　　 　./: : : : : : ; 　 _ ‐､ノ-r く　／ﾚ'|!: : : :｀ヽ、ﾉ ∨　(_,つ　　　 　 ｒ┐[][]
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The study of inner models is common in the study of determinacy and large cardinals, especially when considering axioms such as the axiom of determinacy that contradict the axiom of choice. Even if a fixed model of set theory satisfies the axiom of choice, it is possible for an inner model to fail to satisfy the axiom of choice.

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One variation avoids the use of choice functions by, in effect, replacing each choice function with its range.

The proof of the independence result also shows that a wide class of mathematical statements, including all statements that can be phrased in the language of Peano arithmetic, are provable in ZF if and only if they are provable in ZFC

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　　　　　ﾉイ |八乂ﾉ 　　　　　""ﾉイ/　　　 　 /´　 　　 ＿＿＿＿＿　 ﾉノ
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　　　　　　　|l人　　　　´　 　　 / l/´　　　 /|　　 ＼r‐┐ ド ヤ 顔
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　　　 　 /: : : : : :r-{　　｀ン-､こ}!イ　/ﾑ| : : : : : : :';　　　ｒ─''⌒ヽ　⊂ﾆ　ﾆ⊃　　 ｒ┐[][]
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In this way we can see that the set {1,2,3,...} has the same cardinality as the set {2,3,4,...} since a bijection between the first and the second has been shown. This motivates the definition of an infinite set being any set which has a proper subset of the same cardinality; in this case {2,3,4,...} is a proper subset of {1,2,3,...}.

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In accordance with the traditional view of Aristotle, the Hellenistic Greeks generally preferred to distinguish the potential infinity from the actual infinity; for example, instead of saying that there are an infinity of primes, Euclid prefers instead to say that there are more prime numbers than contained in any given collection of prime numbers (Elements, Book IX, Proposition 20).

The Planck spacecraft launched in 2009 is expected to record the cosmic background radiation with 10 times higher precision, and will give more insight into the question of whether the universe is infinite or not.

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　　　 　 /: : : : : :r-{　　｀ン-､こ}!イ　/ﾑ| : : : : : : :';　　　ｒ─''⌒ヽ　⊂ﾆ　ﾆ⊃　　 ｒ┐[][]
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Equivalence and order relations are ubiquitous in mathematics, and the theory of mathematical relations can be described in set theory.

Informally put, the axiom of choice says that given any collection of bins, each containing at least one object, it is possible to make a selection of exactly one object from each bin. In many cases such a selection can be made without invoking the axiom of choice; this is in particular the case if the number of bins is finite, or if a selection rule is available: a distinguishing property that happens to hold for exactly one object in each bin.

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Similarly, all the statements listed below which require choice or some weaker version thereof for their proof are unprovable in ZF, but since each is provable in ZF plus the axiom of choice, there are models of ZF in which each statement is true. Statements such as the Banach–Tarski paradox can be rephrased as conditional statements, for example, "If AC holds, then the decomposition in the Banach–Tarski paradox exists." Such conditional statements are provable in ZF when the original statements are provable from ZF and the axiom of choice.

The Vitali theorem on the existence of non-measurable sets which states that there is a subset of the real numbers that is not Lebesgue measurable.

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A similar type of investigation occurs in many mathematical theories, such as the study of continuous maps (morphisms) between topological spaces in topology (the associated category is called Top), and the study of smooth functions (morphisms) in manifold theory.

For example, a (strict) 2-category is a category together with "morphisms between morphisms", i.e., processes which allow us to transform one morphism into another. We can then "compose" these "bimorphisms" both horizontally and vertically, and we require a 2-dimensional "exchange law" to hold, relating the two composition laws.

　　　　 ', 　　　　　　　 ./:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::_ﾊ _,,. -┐　　/　 　 　 ／
　　　　 ',　　　___,,.へ./:::::::/＼:::::::::::::__::::::::::::::::::::_;;:-‐''"　　　　　 |_____　　　 ／　
　　　　　',　 「　　　　　｀` ヽ､_ﾊ-'ｧ´　ﾊ⌒ヽ-''"　 _,,.　　　　　　　　　/　／
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＼ 　　　　く　　　＞'"::;:- '"´￣｀ヽ､::::-─-　'"´￣　｀ヽ､:::::::::｀"'＜　 「　　
　　　　　 　ﾉ＞'"_:;ア´　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ヽ､::::::::::::＜
　　　 _,,.:::''":::::ｱ´ /　 , '´　　　/　　　　 i　　　 ',　　　 i　　　Y:::::::::::::_;＞　嫌　何
..,,_　く;::::::::::::::/　 /　 / 　 i.　､,'　　ﾊ　　,ﾊ　　　,i　　　ﾊ_　　　iヽ;__;;;:::::> 　 い　が
　　　 `ヽ､::::ﾉ　 ,' 　.i　 　ﾊ　 i＼/　',　/　i　　/ i ,.イ´./i　　　!　 i　／　　 .か
_____　 　,,.イ　　 i 　 i 　./　ｧ'"￣`ヽｰ/　　|　/,ｧ''"￣`ヽﾊ　　ﾊ　∠_　　 　よ
　　　 ∧　'"　／|　ﾉ　,ハｲ 　 i'´'`i 　　　　ﾚ' 　i'´'`i. 　 ﾄ|　/　i　　ヽ7　　 り
＼∧/　 Vi／　 |_,. -‐ｧi/　 　 !__,ﾘ　 　 　 　 　 !__,ﾘ 　 ' ﾚ'_ン　　i　/へ
　　　　　　　　　　　　/ | 　 `'' ｰ-　　　　　　　　 -‐ ''´　 i ハ' 　 ﾊ　　　i＼/V＼/
　　　　自　　何　　∠,ﾊ　""　　　　　　 `　　　 　　　""〈　,.ｲ　./　!　 　 ',　　---─
　　　　分　　が　　　/从　　 /´￣`' ｰ--‐ '"´￣`ヽ 　 ﾊ ノ　/‐ ､'　 　　ヽ.
　　　　を. 　 好　　 /_ ,.へ.　i　`'' ｰ- ー─-‐‐ ''"　i ,.ｲ人iハr'　　 ヽ､. ヽ.　',　-　..,,__
　　　　語　　き　　　／|　 .ﾉヽ､r'´ 　　　　　 　｀`ン'7 i　ノ　　　　　　 ヽ. ﾍ/
　　　　れ　　か　　く　 |/　i::::::｀i＞.､.,,_______,,.. イ:::::::iヽへi　　　　　　　　Y　　　＼
　　　　よ　　で　　　 >　 ,ｲ::::::::::|ヽ､.,____l_」___,.イi::::::::>-く　　　　　　　　　|　',　　　＼
　　　　!!!　　　　　 ＜　　|/:::::::::::|_____　 |o|　　　__rへi_ン-‐ｧ　　　　_r'-イ>　',

That is, functors must preserve identity morphisms and composition of morphisms.

    "Every group is naturally isomorphic to its opposite group"