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Addition is commutative κ + μ = μ + κ.

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　　 |　　i　　!　|7':i｀ﾄ､>rｒく!/::::::i 　ﾄ､.!　　　':,　　　　　 ヽ､　　　 し
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\int_{-\infty}^{\infty} \, f(t)\ dt \ = a means that the total area under f(t) is finite, and equals a

Set theory is commonly employed as a foundational system for mathematics, particularly in the form of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice. Beyond its foundational role, set theory is a branch of mathematics in its own right, with an active research community. Contemporary research into set theory includes a diverse collection of topics, ranging from the structure of the real number line to the study of the consistency of large cardinals.

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　　 　 ,':::::::ノ::::⊂⊃　　V　 　ﾉ ,.イ:::ﾊ:/:::::! （'､::::::!　　アメリカンドッグくださーい
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　　　　i）　 ヽ!ヽ/｀ヽr''"／´i／ 　_」/　｀ヽ;::ヽ, 　）'
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For example, the degree of membership of a person in the set of "tall people" is more flexible than a simple yes or no answer and can be a real number such as 0.75.

The axiom of choice asserts the existence of such elements; it is therefore equivalent to:


    Given any family of nonempty sets, their Cartesian product is a nonempty set.

　 　　 __,ﾍ_ ,. -──- ､,
　 　　ri::::;ﾍ＞=＝=- ､　｀ヽ.
　邪　7〉'　,　 ,　ﾊ　､　｀ヽ　 ',
　魔　i i　/_!,/ｨ」 L､!_ﾊ_i　',　i
　な　 |_i__!ｲ'T,j　 　'T_,T!_ﾊ! |　　　　それで満足したら
　ん　　 ! 7i"　 　　　　",!l |　|　　　　　お帰り願えますか
　で.　　| i l＞.､.,_｀　_,,.イ! /l |　　　　　　__
　　　 　ヽ!ヽﾍﾚくレ'／レ'ヽ!'　／〉　, '"´　　｀ヽ.
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　　 .ヘ､/／::｀7::T:::￣! 　|､　,'　　　　　　／
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　　 rくe::::::/::::::::::i:::::::::::し_ﾉ::e::>､'
　　 ヽﾆヽ7ﾆ二ｨ_T__ﾊ_7イノｰ'´〈
　　　　　｀ゝ､_rﾝ ＾ヽ､_r､,ﾉ　 ｀ヽi
　　　　　　,.ｲ--!　　　Y　i､
　　　　　（二'ン'　 　 〈'二_'〉
　　　　　　￣　　　　 　￣

 Because of independence, the decision whether to use of the axiom of choice (or its negation) in a proof cannot be made by appeal to other axioms of set theory. The decision must be made on other grounds.

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　　　　　 ./＼.　　,,.. -‐─く´/￣ |_
　　　　　/::::::;ﾊ／::::::!　　　 ヽ---'　｀'＜￣|
　　　　　 ア⌒i::::::＿|／　　　　　　　　　ヽハ
　　　　　/　 　|／　/　,ﾊ 　 /|　　|　　　　∨}
　 　 　 ,' 　 　 ,| 　 | ./ｰ|_イ　|　 ,ﾊ.　　/　 | ヽ
　　　_ノ 　　　八 　|/＝≡=　|／ｰ|-.ノ|　 / 　ﾊ　　いや　別に
　 , '´　　 　 ∧ {＼|xx　　　　　　≡= /／| 　　 !　 毎回「そこまでよ」
　.{　　 　 ／　 ヽヽ,ﾊ　　　　　　'　 xx|/　/　　 ,'　　してる訳じゃないし
　 } 　　 /　　　　）、 |　　⊂ーっ　　 ,ﾊ /　 　/
　 '､.　 〈　　　　 '´ }ﾉ＞.､.,　_＿,,.. イ　} 　 ／　　　 正直外出るのだるいし
　　 ＼　',　 ,. '"´￣｀ヽ ＼/､　　 / }ノ''"´
　　　　） |　|　　 　 ＼ ∨∧ }ヽ、! /
　　　（ ｒ'　/　　　　　 ∨　 [::] ∨∨　　　　,.　-- ､
　　　　ヽ. {　 ､＿　　　|　　/:}　 ', }　 　 ／ ,つ-､ﾉ)　) ）
　　　　　　ヽl´ ＿｀ヽノ　 く:::」 　}|　　,.'　_ノ _ノ-'､ｊ
　　　　　　　｀「　　｀|　／￣｀ヽ.ｲ '､ / 　 ´/´
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I don't know about other routes, but Michiru route explains why Michiru route acts like a cliched comic relief character. I'm assuming the other characters also are who they are because of what happened in their pasts.

 That slut will take it.

 i will give you that shes in top 10

The usual, as usual. Sixth installment, for the posting of giant and tiny Touhou characters or anything similarly fitting the theme/interests here.

　　　　　　　　　　　　,. -‐''"7　　　　　_,. -‐,:ｧ
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　　　| 　 i　,' 　,'　/!　/|　ﾊ　/|__,/i 　 /　 ! ほ　　　　 !　　　　　て
　　　i 　 ! / 　.! /-ﾚ'‐ |/　ﾚ'　!_/､|／i. 　,'　っ 　　 　 |　　　　　ゐ
　 　 .! 　ﾚ'　　ｧ-r-‐=ｧ'､　　'7i´ ﾘ .〉7　./ 　と　 　　　!　　　　　の
　　　i　 / .,　〈 　k.__,ｿ　　　　 'ｰ'ンi./ﾚ'i　　 く 　　　./　　　　　 す
　　　| ,:'／|　ﾊ`' ｰ　　　　　. 　 　'",ﾊ　',　　か 　 ∠,_ 　　　　　る
　 　 !/　,　ﾚi　ﾄ.､,'"'" 　 　,.　　,. イ　i　!':,　､.,_ ( _)　　!　　 　　 事
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　　 |　　i　　!　|7':i｀ﾄ､>rｒく!/::::::i 　ﾄ､.!　　　':,　　　　　 ヽ､　　　 し
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Cantor's work initially polarized the mathematicians of his day. While Karl Weierstrass and Dedekind supported Cantor, Leopold Kronecker, now seen as a founder of mathematical constructivism, did not. Cantorian set theory eventually became widespread, due to the utility of Cantorian concepts, such as one-to-one correspondence among sets, his proof that there are more real numbers than integers, and the "infinity of infinities" ("Cantor's paradise") resulting from the power set operation. This utility of set theory led to the article "Mengenlehre" contributed in 1898 by Arthur Schoenflies to Klein's encyclopedia.

Multiplication is non-decreasing in both arguments: κ ≤ μ → (κ·ν ≤ μ·ν and ν·κ ≤ ν·μ).

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Dedekind's approach was essentially to adopt the idea of one-to-one correspondence as a standard for comparing the size of sets, and to reject the view of Galileo (which derived from Euclid) that the whole cannot be the same size as the part. An infinite set can simply be defined as one having the same size as at least one of its proper parts; this notion of infinity is called Dedekind infinite. The diagram gives an example: viewing lines as infinite sets of points, the left half of the lower blue line can be mapped in a one-to-one manner (green correspondences) to the higher blue line, and, in turn, to the whole lower blue line (red correspondences); therefore the whole lower blue line and its left half have the same cardinality, i.e. "size".

Set theory begins with a fundamental binary relation between an object o and a set A. If o is a member (or element) of A, write o ∈ A. Since sets are objects, the membership relation can relate sets as well.

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A cardinal invariant is a property of the real line measured by a cardinal number. For example, a well-studied invariant is the smallest cardinality of a collection of meagre sets of reals whose union is the entire real line.

    For any set A there is a function f such that for any non-empty subset B of A, f(B) lies in B.

　 　　 __,ﾍ_ ,. -──- ､,
　 　　ri::::;ﾍ＞=＝=- ､　｀ヽ.
　邪　7〉'　,　 ,　ﾊ　､　｀ヽ　 ',
　魔　i i　/_!,/ｨ」 L､!_ﾊ_i　',　i
　な　 |_i__!ｲ'T,j　 　'T_,T!_ﾊ! |　　　　それで満足したら
　ん　　 ! 7i"　 　　　　",!l |　|　　　　　お帰り願えますか
　で.　　| i l＞.､.,_｀　_,,.イ! /l |　　　　　　__
　　　 　ヽ!ヽﾍﾚくレ'／レ'ヽ!'　／〉　, '"´　　｀ヽ.
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　　　　 　/ k:::::i：:::::::::i'´　!／　／　　　　　　, '
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Trichotomy: If two sets are given, then either they have the same cardinality, or one has a smaller cardinality than the other.

There are models of Zermelo-Fraenkel set theory in which the axiom of choice is false. We will abbreviate "Zermelo-Fraenkel set theory plus the negation of the axiom of choice" by ZF¬C. For certain models of ZF¬C, it is possible to prove the negation of some standard facts. Note that any model of ZF¬C is also a model of ZF, so for each of the following statements, there exists a model of ZF in which that statement is true.

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monomorphism (or monic) if f ∘ g1 = f ∘ g2 implies g1 = g2 for all morphisms g1, g2 : x → a.

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　　　　　　　　,.　,べ´　　∨　　 |/￣ヽ-､
　　　 　 　 ／　「ヽ　＞''"´￣￣｀ヽ/＿/´|、
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　　　　　,'　 　.| 7 　　.,'　/メ､/| 　 ,|　　　　Y}
　　　 　 |　　　|/　 　 |　,ァｰ=､|　/ |　 ,ﾊ.　 ||
　　　 　 | 　 ／ /　　 |./ 　/´! ﾚ'　 |／-|　 八　　紅魔館の警備ですか
　　　　　| 　'￣/　 　 八　弋ﾘ　　 　ｧ!'T| イ「｀
　　　　　| 　 ∠.,_,. イ},., ｀　　　　　, lﾘ ﾊ|∨'　　　大丈夫です、問題ありません
　　 　　 ;　　/　　 {Y}|　　　　　　　　　ﾞ|Y
　　　　 /　ｲ　　　 }X{ﾄ､　　　 　‐ 　　 ハ
　　 　 ,'　/| ./　　 {Y}|　　 ､ 　　 　, ィ| 　}　　　　 ｒt
　 　　 ﾚ　 ヽ| 　 /∨ﾊ､　 　｀lァ7´|}Y{　/　 　 ｒ' ´￣`ヽ　 　　　（　　）
　　　　　　 ｒ'"´[￣＼Kこ{ヽｒﾑｲ　 {X}./　　 　 |´￣￣'|　　　　(　)
　　　 　 , '"´￣｀ヽ / Tヽに＞く{ヽ}Y{! 　 　 　 |　塩　 | r======ｒ┐
　　 　 /　　　　　　∨　} ＼/ﾊ＼}ムに}　　　　|　 　　 |　､＿＿ノ‐'
　　 ／　　　　　　 ヽ|　/ト-く__」-┘∨、　　ヽ二二二二二二二二ﾝ
　　.{　Red Magic　　Y} /:::::::::::l::}:::::::ﾊ ヽ 　　 　 { 　'´　　／
　　 ゝ 　 _,. --= ､　 ,ﾊ/::::::::::::::り::::::::::}　}　　　　,'　　　 ./
　　 く　,-──-､　Y､:::::::::::::::::::::::::::::::ｲにlヽ.　　/　　　 ,'

Associativity: h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f whenever the operations are defined.

Dual vector space: The map which assigns to every vector space its dual space and to every linear map its dual or transpose is a contravariant functor from the category of all vector spaces over a fixed field to itself.