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Zermelo began to axiomatize set theory in 1905; in 1908, he published his results despite his failure to prove the consistency of his axiomatic system.

κ^{μ + ν} = κ^μ·κ^ν.

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Infinite-dimensional spaces are widely used in geometry and topology, particularly as classifying spaces, notably Eilenberg−MacLane spaces. Common examples are the infinite-dimensional complex projective space K(Z,2) and the infinite-dimensional real projective space K(Z/2Z,1).

Power set of a set A is the set whose members are all possible subsets of A. For example, the power set of {1, 2} is { {}, {1}, {2}, {1,2} } .

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　　／,.へ ＼　　　）'　,イ ｀＞ ｰ-='i"´ン^iン^ヽノ　　　　　　　 `'ｰ'￣`ー─'￣`ｰ'
　く／_,,.　.>　> l二二｀i [][]　 　 　 ﾚ｀ヽ､.,_）　　　　　__人__　 駆　け　巡　る　戦　慄
　 ,. '´ .／／　　　 　|. |　 `r─┐[]]　　　｀i7､.　　　　 ｀Y´
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Principles such as the axiom of choice and the law of the excluded middle appear in a spectrum of different forms, some of which can be proven, others which correspond to the classical notions; this allows for a detailed discussion of the effect of these axioms on mathematics.

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　　 /:|. 　 | .| 　 | ｧ'ﾊ｀ 　 ﾘ'∨ﾚ'､　 　 |:::::|
　　 !:::!. 　 '､|.　八ゝ‐'　　 '　ﾞ〉､　＼ｒ‐r ､/
　　 ＼＼___人. 　 ヾ､_　 ´／ _,..＞r'|:/／
　　　　` ｰﾆ二＼　 　 ￣￣´　　 /::/|￣｀ヽ、
　　　　　 　　　rﾊ ＞ー--r‐ｒ＜´|__|,7ー､___,＞
　　　　　　　 ./:::::＼ 　 　 |＼＼/､ ｒ'し'､,ﾊ
　　　　　　　〈:::::::::::::＼＿_|:::::::';';:ﾊ〉｀ヽ.（　|　　　.|￣|
　　　 l二ニﾆヽ;:::::_ｒ'´＼::､:::::::::|:|::|、 /｀ヽ7　　　/::::/
　　　　　＿__ 　￣＼　　` ｰ--‐'´￣｀ヽ /､＿／::／
　　　 ｒ'／:::::::｀':..､.,_,ﾊ＞----─ｨrｰ､)_ｿ´`ｰ─ ´
　　 ｒ'/:::::::::::::::::::::::::／＼::::::::::::::/|/ヽ.
　　 | |::::::::::::::::-‐''´:::::::::/ヽ__／:::::::::::ﾊ､-‐ｒ┐
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　 　＼＼::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::!::::::::::::::::::::／ r'
　　　　` ｰﾍ‐-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::r‐'´_／
　　　　　　　`ｰ-へ二二二ヽ;::::::::::::::/／　
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　　　　　　　　　 ｒ'､._ /／
　　　　　　　　　 ﾄ､_二]
　　　　　　　　　/|　 }{|
　　　　　　　　.〈 .!　 }{ﾄ、
　　　　　　　　　`! ｧ'⌒ヾ
　　　　　　　　　 ＼＿＿）

 This method cannot, however, be used to show that every countable family of nonempty sets has a choice function, as is asserted by the axiom of countable choice. If the method is applied to an infinite sequence (Xi : i∈ω) of nonempty sets, a function is obtained at each finite stage, but there is no stage at which a choice function for the entire family is constructed, and no "limiting" choice function can be constructed, in general, in ZF without the axiom of choice.

　 　　　　　　　　　　　　_,,...　-─- ､..,_
　　　　　　　　　,.　''"´　　　　　　　 　 ｀　､
　　　　　　　／　　　　,　-　　 　 　 　 　 　 ヽ.
　　　__＿,ノ　　　　／　　　　　　 ヽ. 　 　　　,ﾊ
　　　｀ヽ/　　/　 /　　　　　 |_,,. イ |　　.!　 　, |
　　　　.,'　.　,'　　|_, ｨ 、 　 /|,＞=ｒ､!　　! 　イ/!
　　　　| ./　|　　 ﾚ _」_ﾊ　/'´∨　 ﾘ!　 /　.ノ／ﾄ 、
　　　　ﾚ'i　 |　 　| ハﾊ ﾚ'　 　ゝ‐'ﾟ |／ 「￣アﾊ.　＞
　　　　　|　∧ 　 人 ,り　　　 　 //ｲ　　|イ´ / 　 ｀ヽ.
　　　　　∨∠＼ |ﾊ.// 　｀　__　 　/　 ./　／ 　　ﾉ　 ）
　　　　　　　　 _,ン人　　　´ 　 .／　,.イ／__ 　 '´　／
　　　　　　 ＜ _／　/｀"７ァ=r/　.／X／ : : ｀ヽ. （
　　　　　 　　 /　／| ／,.イ[_7|／::X:/: : : : : : : : ＼
　　　　　 　　.ﾚ'　＼ ／:::|/　　!/:X/|: : : : : : : : : : : ヽ.
　　　　　　　　　　 ,く|: :／ /　 |':X/::|: /: : : : : : : : : : : `:ァ ､
　　　　　　　　　　 |::＜.,__/　　|X/::::!/: : : : : : : : :|: : : ／X/
　　　　　　　　　　∧: : : :＼＿」/:::::〈: : : : : : : : :_」 ＜::X::/
　　　　　　　　　く＼／）（｀＼::/::::::::::＼__,,.. -＜:::X_,,.. イ
　　　　　　　　　/／‐''"´）ｧ- ＼::::::::::::::[::∨__／￣|__／
　　　　 　　　_ｒ'/　-‐''´ｿ:}─-　ヽ;::::::::::::｀/|　 　 　!
　　　　　　 / |::|　　-‐ｧ'::::ヽ､-､　 ﾊ￣｀ヽ j、 　　/|     　 　　　　　　　　　　_,,.. -─-- ､.,_
　　　　　　　　,　'"´　　　　 　　 　 ｀ﾞ'' ー─ｧ
　　　　　　／ 　　　＿　　　　￣＼　　　 ＜
　　　　　/ 　　　／　　 　 　 　 　　',.　　 　 ＼
　　　　 ,' 　 　.,'　　 /　／　 |.　 　　|　.ﾊ 　 　 ':,
　　　　ﾄ 、 　 !　　.,' _/　 /　! 　　､/イ　|　　!.　|
　　　　}　　`ｰ!　　.| /｀メ､_,∧　／ｨ7!`Y 　 ,'　/
　　　　{｀　ｰ-|　　 |ア´7ｱﾊ　∨　 lり ﾉ|　./／
　　　 /＼ヽ.八　 .八　弋_り　　　　 ´ﾟo／フ
　　／ 　 　,＞''＼. oひｰ 　 　 ___'_　 //|＼○ 、
　/　/　　 /|` ｰ○＼///　 /´ 　ヽ| 　 ﾉ 　 ＼　〉
　!. 〈　　./　o　　 　 ハ 、　'、 　_ノ ／ヽ、 　ノﾚ'
　＼ ＼/　./ 　,. ‐∧　|/｀7ｧｰ-‐ｒく|::::::::::::Y´ 　　　＿
　　 ∨ ）ヽ|.／:.:.:.:.、∨＼ ＼＿/ /|::::::::::::::|　　　(´__　｀ヽ
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　　　　○　 ,.. '"´　　　　　　 _,,.. -　''"´￣￣｀ヽ.- ､　　　　 　 i三.　Ｐ Ｅ Ｐ Ｓ Ｉ　三i
　　　　　,.ｲ´　　　　 _,.ゝ- ''"´　　　　　　　　　　　ヽ､!　　　　　!､Ξ 　ゝ､～'ン 　Ξ!　　。
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　ノ';.:.:.:.:.:.,.-:､!:.:.:.:.:! ｧ'´　 ,-､ヽﾚ'　i__/ ,_」_｀ヽ!:.:.:.:.:.:.i:.:.::!.　　　,'　 CUCUMBER 　 ',
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'ﾚ'　　,.へく>>　＞､:.:.;ゝ.､, !､.,_______,ノ ,,. イ.:.:Y:.:.:ｲ　　　* 　　 ',　ヽゝ､:::::::::::::::::く　 /
　　／,.へ ＼　　　）'　,イ ｀＞ ｰ-='i"´ン^iン^ヽノ　　　　　　　 `'ｰ'￣`ー─'￣`ｰ'
　く／_,,.　.>　> l二二｀i [][]　 　 　 ﾚ｀ヽ､.,_）　　　　　__人__　 駆　け　巡　る　戦　慄
　 ,. '´ .／／　　　 　|. |　 `r─┐[]]　　　｀i7､.　　　　 ｀Y´
／　 　｀'´ !ﾍ.　 l二二..! ／,二i. |　l　　　　 !/ヽ. l二二二｀i [][]
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　　　　　∨∠＼ |ﾊ.// 　｀　__　 　/　 ./　／ 　　ﾉ　 ）
　　　　　　　　 _,ン人　　　´ 　 .／　,.イ／__ 　 '´　／
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　　　　}　　`ｰ!　　.| /｀メ､_,∧　／ｨ7!`Y 　 ,'　/
　　　　{｀　ｰ-|　　 |ア´7ｱﾊ　∨　 lり ﾉ|　./／
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　!. 〈　　./　o　　 　 ハ 、　'、 　_ノ ／ヽ、 　ノﾚ'
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　　　　　 〉ｲ〈}>ｲ>.〈ﾊ /　i Yﾉ､　.l !　 -!_/　/ )　
　　　　,.イ 〈ﾊ7 　 Lムヽ」 }>ｲ」､　ﾞゝ-､_｀フ´
　　　 〈 r｀ｰﾊ!　 　ﾚﾍ__」　　　 ,,.7｀ﾞ'ｰ─'´
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　　　 ,!イ､!､ヽ)-'----─=r'rイヽ､＼「ヽ
　　-''"／　 !7´　　　　　 ノﾄ-(　 ヽ､｀ヽ､
　　　　　　　　　　　　　　　 Ｙ　　　　ヽ　 ヽ.

A set Y is at least as big as a set X if there is an injective (one-to-one) mapping from the elements of X to the elements of Y. A one-to-one mapping identifies each element of the set X with a unique element of the set Y. This is most easily understood by an example; suppose we have the sets X = {1,2,3} and Y = {a,b,c,d}, then using this notion of size we would observe that there is a mapping:

    1 → a

    2 → b

    3 → c

For example, the set of integers is countably infinite, while the infinite set of real numbers is uncountable.