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　　　　　 　 ／　　/　　　　　',　　　　 ｀ヽ　　ﾊ　　　　 三.　 付　　と　　ま　　き
　　 　 　 , '　／　 |　　　,　　 |　　 ヽ、 　 'ｒ ' ﾉ}　　　　Ξ 　 き　　ぐ　　な　　じ
　　　　 /　 / 　　 |　　 /!　　ﾊー|-　ﾊ　　|／/}　　　　 ﾆ 　 な　　ら　　い　　ゃ
　 　 　 |.　 '、 　 ∧ イ　|　 / ｧ‐ﾃ＝ｧ|　 /イ 八　　　 三　　さ　　い　　　　　な
　　　　ﾉ､　　＼|/,ｒ-ﾃ=ｧ|／　　 ゝ‐ﾟ'o|／-‐ｧ 　 ｀ヽ.　 ﾆ　　い 　 　　　　　　 き
　　　´￣｀ヽ　.ﾊヽo ゝ‐ﾟ'　　 　　 //　ﾊOイ　 　、 　}　Ξ　 よ　　　　　　　　　ゃ
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Assuming the axiom of choice and, given an infinite cardinal σ and a cardinal μ, there exists a cardinal κ such that μ + κ = σ if and only if μ ≤ σ. It will be unique (and equal to σ) if and only if μ < σ.

All things are possible through Allah my friend.

May take a little while though.

\sum_{i=0}^{\infty} \, f(i) = \infty means that the sum of the infinite series diverges in the specific sense that the partial sums grow without bound.

Japanese customs allows me 3 bottles of booze.

Modern understanding of infinity began in 1867–71, with Cantor's work on number theory. An 1872 meeting between Cantor and Richard Dedekind influenced Cantor's thinking and culminated in Cantor's 1874 paper.

    Shud I play the Lottery?

For example, the existence of sufficiently large cardinals implies that there is an inner model satisfying the axiom of determinacy (and thus not satisfying the axiom of choice).

    Given any set X of pairwise disjoint non-empty sets, there exists at least one set C that contains exactly one element in common with each of the sets in X.

Statements in this class include the statement that P = NP, the Riemann hypothesis, and many other unsolved mathematical problems. When one attempts to solve problems in this class, it makes no difference whether ZF or ZFC is employed if the only question is the existence of a proof. It is possible, however, that there is a shorter proof of a theorem from ZFC than from ZF.

A uniform space is compact if and only if it is complete and totally bounded.

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 The expression hom(a, b) — alternatively expressed as homC(a, b), mor(a, b), or C(a, b) — denotes the hom-class of all morphisms from a to b.

The study of morphisms and of the structures (called objects) over which they are defined, is central to category theory. Much of the terminology of morphisms, as well as the intuition underlying them, comes from concrete categories, where the objects are simply sets with some additional structure, and morphisms are structure-preserving functions. In category theory, morphisms are sometimes also called arrows.

Set theory is the branch of mathematical logic that studies sets, which are collections of objects. Although any type of object can be collected into a set, set theory is applied most often to objects that are relevant to mathematics. The language of set theory can be used in the definitions of nearly all mathematical objects.

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　　　　　　 i　 i ﾚ_Lｨ/ Lﾊ､!__i､i　ヽﾊ／
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　　　 くヽ.:::::::｀ヽ､ヽ｀:ﾆ:r=''7/　 ／ｲ
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The product of cardinals comes from the cartesian product.


    |X| · |Y| = |X × Y|

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Infinity is often used not only to define a limit but as a value in the affinely extended real number system. Points labeled +\infty and -\infty can be added to the topological space of the real numbers, producing the two-point compactification of the real numbers.

Cantor's work initially polarized the mathematicians of his day. While Karl Weierstrass and Dedekind supported Cantor, Leopold Kronecker, now seen as a founder of mathematical constructivism, did not.

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　　　　　 　レ!ﾍ_iT_;ｊ｀　　´T_;j'Lﾊ_.! |
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　　　 くヽ.:::::::｀ヽ､ヽ｀:ﾆ:r=''7/　 ／ｲ
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　　　 /ヽ.,rイ／}><{´　　　 　　!
　　　 ! ヽ「/ｲ 　　 　 　 　 ,.:　 ハ､

A large cardinal is a cardinal number with an extra property. Many such properties are studied, including inaccessible cardinals, measurable cardinals, and many more.

This guarantees for any partition of a set X the existence of a subset C of X containing exactly one element from each part of the partition.

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　　 　,.､_!,　　 ヽ.　　｀>､,ﾊ.! !,_ｰ' ﾉ　　ﾚ' ,.',ﾆ､ヽ.!　!　　i｀ヽ､:::::::::::::/
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　　　 ｀"'' ｰ　}レ'7へ:::::::::::!{＞＜:::::::i　　　　rン'::::::::::ヾ!　　ﾉ　　 ノ
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The axiom of choice is not the only significant statement which is independent of ZF. For example, the generalized continuum hypothesis (GCH) is not only independent of ZF, but also independent of ZFC. However, ZF plus GCH implies AC, making GCH a strictly stronger claim than AC, even though they are both independent of ZF.

Every Tychonoff space has a Stone–Čech compactification.

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　　　　　　　　 ﾄ--‐''"´　　　　　　　　｀' .､　　　　　　　ミ
　　　　　　　　 ,＞　／｀ヽ　　　　　　　　　 ヽ.　　 　 　 ﾆ　　気 　 こ 　 妬 　 好
　　　　　 　 ／　　/　　　　　',　　　　 ｀ヽ　　ﾊ　　　　 三.　 付　　と　　ま　　き
　　 　 　 , '　／　 |　　　,　　 |　　 ヽ、 　 'ｒ ' ﾉ}　　　　Ξ 　 き　　ぐ　　な　　じ
　　　　 /　 / 　　 |　　 /!　　ﾊー|-　ﾊ　　|／/}　　　　 ﾆ 　 な　　ら　　い　　ゃ
　 　 　 |.　 '、 　 ∧ イ　|　 / ｧ‐ﾃ＝ｧ|　 /イ 八　　　 三　　さ　　い　　　　　な
　　　　ﾉ､　　＼|/,ｒ-ﾃ=ｧ|／　　 ゝ‐ﾟ'o|／-‐ｧ 　 ｀ヽ.　 ﾆ　　い 　 　　　　　　 き
　　　´￣｀ヽ　.ﾊヽo ゝ‐ﾟ'　　 　　 //　ﾊOイ　 　、 　}　Ξ　 よ　　　　　　　　　ゃ
　　　　　　　∨O,ハ//　　　' 　　　　/　| ./ ﾟ　　,ﾊ／　 彡
　　　　 　 。 ／　　.ﾄ、 　　　‐- 　,.ｲ　/´|　 　 /　　　　／/ | l| ||l | |l l|| ||l | |l l|| ll
　　　　 　　〈　/ 　/　,|こ7ァｰｒ＜ | レ'__.」イ／
　　　　　　　∨|／＼ｒ'"∨l´ー‐‐ ァ´　　 　￣｀ヽ.
　　　ﾓ　　　　 　 ／´￣く/トｒ‐ｧ＜|/　　　　　　　 ',　　　　 ヽ、
　　　 ｼﾞ ／ 　　/　 　ヽ.|X|ムﾉ:::!X!　　　　　　　　 |　 　 　 　 ',
　　 /　/ 　 　 /　 　　　.|/　　|:::|X|　　　　　　　／l＼　　　 |　|
.　　|　 l　　 ／l＼　　 ／/ 　 .|:/Xﾊ/ 　　　　／ X ／　 　 /　　ﾓ
　　 、 　　　＼ X ＼(´ヽ／）-|'X/:::|_,,.. -''"ァ＞ '/　 　 ／　　 ｼﾞ
　　　　　　　　 |＼X（｀'く　/ヽ:|X'::::::{__X_,,.イ‐-､/　-‐''"
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A binary operation ∘, called composition of morphisms, such that for any three objects a, b, and c, we have hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). The composition of f : a → b and g : b → c is written as g ∘ f or gf,[4] governed by two axioms:

A category C consists of two classes, one of objects and the other of morphisms.

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　　 く ｀ヽゝ!_,..--─- ､ ヽ､　/　／　　　　 !__ノ
　　 ,.'くゝｨ'´　 　 ,　 ､　ヽ､ヽ.　　　　　　　　　　つ
　　,'　　!/　 /　 ﾊ　 ﾊ_,　! ', !　　　　　　　十
　　i　　,' , /!ゝ､!　L.!ｒﾄ!_ﾊ_」」　 　i　 ヽ,　 └‐､
　　!.　 Lﾊ_!ｲr_,j　　└' !　|　　　　ﾚ　　　　 --'
　　.!　i　!　! "　 ,.-‐､　.从|　　　　　 つ　　　　や
　　 ヽﾊﾍハヽ､ !___ノイ/　　　　　-─ｧ　 　_i_　 ､､　　　　
　　　 　, '⌒ヽ!ﾍ}><{｀ヽ　　､　　　　（_　.　　| ｀!ヽ
　　　　!　　___,.〉　Y　!_r〉 　　　　 十___　 　' _ﾉ
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Constant functor: The functor C → D which maps every object of C to a fixed object X in D and every morphism in C to the identity morphism on X. Such a functor is called a constant or selection functor.

A set X is Dedekind-infinite if there exists a proper subset Y of X with |X| = |Y|, and Dedekind-finite if such a subset doesn't exist. The finite cardinals are just the natural numbers, i.e., a set X is finite if and only if |X| = |n| = n for some natural number n. Any other set is infinite. Assuming the axiom of choice, it can be proved that the Dedekind notions correspond to the standard ones. It can also be proved that the cardinal ℵ₀ (aleph null or aleph-0, where aleph is the first letter in the ^Hebr^ew alphabet, represented ℵ) of the set of natural numbers is the smallest infinite cardinal, i.e. that any infinite set has a subset of cardinality ℵ₀. The next larger cardinal is denoted by ℵ₁ and so on. For every ordinal α there is a cardinal number ℵ_α, and this list exhausts all infinite cardinal numbers.

It was introduced in 1655 by John Wallis, and, since its introduction, has also been used outside mathematics in modern mysticism and literary symbology.