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　　　　　iヽ/　　　　　 ヽ,ﾍ）｀ヽ､_,.イ_i7　iﾒ）7´（　　　 　 |　　　　事
　　　　　Y 　 ,'　　　 　　}＞Yく{_/ﾑ_」';ヽ（X!ヽ.　　　　　 |　　　　無
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　　。　　　/　　/ 　　 !　/__｀メ. 　/|　/　 |　ﾊ ＼　　　 だ打ﾀﾞd 駄目ですよっ！！
　　　　 ∠、 ,.ｲ 　 　/.ｧ'´ ,.-､|／　ﾄ/_ﾊ/　　,!__,ﾉ
　　　＿　.／　|　　　|人　 !_,ﾘ´　　　ｒt Y　　八　　o　　お姉ちゃんは
　, -─　/|　 八 　 人///　　　　　, り 人イ　 ,＞　　　 そういうの認めませんッ！1
　`'ｰ─ |八　 　 ' ､.＿＞　　 ,. ‐‐-､　//|,.ゝ /　 　- ､
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　　 /´　-､　 　/　　　　 Y´ 　＼　　 | ／ 　し'i´::::::ゝﾍ-'´/　}
　 ./　'"´￣＼/　　　　 rｿ　　　　` ｰﾒ、　.／} |::::::::::::`':ｰ/ rﾍ.　
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　　　　 i　!　 ,'　ﾊ | /　|　 ./l　!　 !　 ,.ゝ 　　|
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　　　く_,.ﾍi_/ ﾊ` ゞ┘　 　,-r'-‐=ﾄ､ノ!　 　!　|
　　　　 　ﾉ 　 .!"　　 , 　　　ゞ-''´ ﾊ/　 　!　/　,,. -─- ､,
　　　　 く,/i　!ﾍ､　　　 　　 　　",/　i　　,ﾊ/, '　　　　　 　｀ヽ.
　　　　　　 ﾚへ/_.＞､, ｀　_,. .イ/　 ﾊ／　,:'　,.へ.　　　　 　　',
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　 ＼ ＼／〉i_､___!::::::i::o::::::::::::,ｲ　　　　　　　　〉　,'
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　　　　 ,ヽ._　y'"⌒ヽ､!::::::::::;:イ/　 　 /　　ヽ. 　 　i
　　　　 !､___ﾊ._/､,　_, ｀"´ ￣ ｀　 　,ｲゝ　　　)　　ﾉ

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　　　　　＿ｒﾍ　　,. ‐ｧ'´￣｀ く＿|＿_|
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　　! 　 |_,rｧ7´/　　 , ' 、　ﾊ　 　 / 　 , 　 　 |┐　|　＿|＿　 ┼ ＿　 -─ｧ.　┼‐
　　|　　　ｲ/ /　　 / _」_メ、.|　／!　／| 　 .ノｲ 　 |　　_|　　　/　　/　 　/　　ノ‐x'´
　　|　　 ﾉ/ ,'　　./ｨ´ 7´,ﾊヽﾚ'　 ∨_ ∧　（‐┘　 ﾚ （_ﾉヽ.　/　､＿　　 !＿　　（＿_
　 ,'　　／! .| 　 / 　､弋_ソ　　　　ｧｒ/　ﾊ　 ｀ヽ
／　　'|　 ヽ!　人⊂⊃ 　　＿_ ,　り |　 ｿヽ.　/　　　 ┼‐　　　 l__/　　-─ｧ　　┼‐　　 「 /
/　　.ノ　　　ヽ､._.＞ 　 ／‐- ､ヽ ⊂|イ（　 ﾚ'　　　　ノ _| ヽ　/ |/｀ヽ　 ／-､　.ノ _| ヽ　.|/
　／ 　　　　　　∨＼ 〈　　　　 ﾘ　 人__.＞　　　　　 （_ﾉヽ　 しﾍ　ノ　 Ｏ__ノ　 （_ﾉヽ　 Ｏ
´　　　　　 　 r..､_/ 　ヽ､.,＿_,,..　イ　　ヽ.
　　 ,. '"￣￣´ヽ:|＼ 　 　 ∧r､＿_'､　 　 )　　 　 __
　／　　　　　ヽ}::{ 　 ＼__/　 |::{　　｀ヽ.　ﾊ　　　.//´＼
'´　　　　　　　 |ヽヽ.　　/:|.　 }::{ /　　 ∨ .|　　.//◎X/
　　　　　　　　 |　 ＼∨ |::＼_}_}∨　　 |　 ! 　//r'ヽr/
ヽ.　　　 　 　 ノ　　　 　 |::|　　　 ',　　ｒﾍノ //ｒく＼＼
､r─-- ＜.イ　／｀'ｰ-､ |::|　　　　!　/|　／＼ﾍ. ＼｀ |
/￣￣｀ヽ/ｲ /　 　 　ｒﾉ::/　　　　ﾉイ/く／　　｀＼ 　 }

Cardinality is studied for its own sake as part of set theory. It is also a tool used in branches of mathematics including combinatorics, abstract algebra, and mathematical analysis. In category theory, the cardinal numbers form a skeleton of the category of sets.

　 　　　　　 　_,,..､_　　__,,,,...,,,,__
　　　 r--､ｒ「::::::::::|7´　　 　 　 ｀"'' ､
　　　 ｀ヽ;::::ヽ::::::::!'_,,,,...,,,__　　　　 　 ｀ヽ.
　　　　　　>'＞'"´￣　　　 ｀"'' ､　　 　 　':,
　　　　　/ /　　,　 ,　　,　　　　　｀ヽ. 　　 　',
　　　 　,' .,' 　 /　/l　 ﾊ　　 i　;　 ,　 ',　 　　i
　　　　 i　!　 ,'　ﾊ | /　|　 ./l　!　 !　 ,.ゝ 　　|
　　　　ﾉ ,i 　 ! 'ｧr''､,!_　!__/､!_ﾊ-‐!　 !/　 　 |
　　　く_,.ﾍi_/ ﾊ` ゞ┘　 　,-r'-‐=ﾄ､ノ!　 　!　|
　　　　 　ﾉ 　 .!"　　 , 　　　ゞ-''´ ﾊ/　 　!　/　,,. -─- ､,
　　　　 く,/i　!ﾍ､　　　 　　 　　",/　i　　,ﾊ/, '　　　　　 　｀ヽ.
　　　　　　 ﾚへ/_.＞､, ｀　_,. .イ/　 ﾊ／　,:'　,.へ.　　　　 　　',
　　　　　　 　 ,:'´　/:/ i￣/　|::/__／´ ｀ヽ.／:／　　　　　　 　!
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＼ ＼　　　rｲ　　i:::::::i／::::::::::::::i　　　 　　　ヽ.　　､.,,___,,..: '
　 ＼ ＼／〉i_､___!::::::i::o::::::::::::,ｲ　　　　　　　　〉　,'
　　　 >',ｧ'"ヽ､､. ,!::::::!:::::::::::::::::`i､__rヽ-､_　 ノ　　!
　　〈／i　'´　,､）;::::::::ﾊo:::::::::::::::::7　　　./-'　　 　 ',
　　　　 ,ヽ._　y'"⌒ヽ､!::::::::::;:イ/　 　 /　　ヽ. 　 　i
　　　　 !､___ﾊ._/､,　_, ｀"´ ￣ ｀　 　,ｲゝ　　　)　　ﾉ

All the remaining propositions in this section assume the axiom of choice:

    If κ and μ are both finite and greater than 1, and ν is infinite, then κ^ν = μ^ν.

    If κ is infinite and μ is finite and non-zero, then κ^μ = κ.

The practice of refusing infinite values for measurable quantities does not come from a priori or ideological motivations, but rather from more methodological and pragmatic motivations.

　 　　　　　　　　　　　 　 　 _,,.　- 、
　　　　　　　　　　　　 　　/＼/＿_＼
　　　　　＿ｒﾍ　　,. ‐ｧ'´￣｀ く＿|＿_|
　　 ., -「::::::::::::`ｧ'.／　　　 　　 　ｧ'"´￣｀ヽ、
　　/　 ＞:: :::::/, '　 　 ／　!　　　　　　　　　',
　　! 　 |_,rｧ7´/　　 , ' 、　ﾊ　 　 / 　 , 　 　 |┐　|　＿|＿　 ┼ ＿　 -─ｧ.　┼‐
　　|　　　ｲ/ /　　 / _」_メ、.|　／!　／| 　 .ノｲ 　 |　　_|　　　/　　/　 　/　　ノ‐x'´
　　|　　 ﾉ/ ,'　　./ｨ´ 7´,ﾊヽﾚ'　 ∨_ ∧　（‐┘　 ﾚ （_ﾉヽ.　/　､＿　　 !＿　　（＿_
　 ,'　　／! .| 　 / 　､弋_ソ　　　　ｧｒ/　ﾊ　 ｀ヽ
／　　'|　 ヽ!　人⊂⊃ 　　＿_ ,　り |　 ｿヽ.　/　　　 ┼‐　　　 l__/　　-─ｧ　　┼‐　　 「 /
/　　.ノ　　　ヽ､._.＞ 　 ／‐- ､ヽ ⊂|イ（　 ﾚ'　　　　ノ _| ヽ　/ |/｀ヽ　 ／-､　.ノ _| ヽ　.|/
　／ 　　　　　　∨＼ 〈　　　　 ﾘ　 人__.＞　　　　　 （_ﾉヽ　 しﾍ　ノ　 Ｏ__ノ　 （_ﾉヽ　 Ｏ
´　　　　　 　 r..､_/ 　ヽ､.,＿_,,..　イ　　ヽ.
　　 ,. '"￣￣´ヽ:|＼ 　 　 ∧r､＿_'､　 　 )　　 　 __
　／　　　　　ヽ}::{ 　 ＼__/　 |::{　　｀ヽ.　ﾊ　　　.//´＼
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　　　　　　　　 |　 ＼∨ |::＼_}_}∨　　 |　 ! 　//r'ヽr/
ヽ.　　　 　 　 ノ　　　 　 |::|　　　 ',　　ｒﾍノ //ｒく＼＼
､r─-- ＜.イ　／｀'ｰ-､ |::|　　　　!　/|　／＼ﾍ. ＼｀ |
/￣￣｀ヽ/ｲ /　 　 　ｒﾉ::/　　　　ﾉイ/く／　　｀＼ 　 }

Elementary set theory can be studied informally and intuitively, and so can be taught in primary schools using Venn diagrams. The intuitive approach tacitly assumes that a set may be formed from the class of all objects satisfying any particular defining condition.

The surreal numbers are a proper class of objects that have the properties of a field.

　　　　　　　　　　　　　　_,,.. -─- ､.,_　　　　 　　　　　　　 　 ／
　　　　　　　　　　_r-＜´ 　 ｀Y´￣Y´￣ヽ､,　　　　　 　　　 /　　よ
　　　　　　　　.,. '"7､　 ,ゝ-‐''"´｀ヾ;´ｰ- ､/´｀ヽ,_ 　 　 　　,'　　　く
　　　　　 　.／　「´ ,>'"　　　　　　　　　　 ´｀ヽ/　!　　　　 i　　　.言
　　 　 　　;'　./´ V´　 /　 ／　,'　　,　 !　　!　　｀ヽ7､　　　| 　 　 う
　　　　　 ;'　 ｀ヽ,'　　./　/メ､/　／!　/ 　/! i 　 ', ヾ!　　　 !　　　わ
　　　　　 !　　　i　　 ,'　 ;'‐ｧ-'､, ' /／!　/_」 i　　i　｀＞　　 !　　　ね
　　　　　 ',　　ノ_,,..イレｲ　i,ｿ　iヽ´ 　ﾚ' _」,､ハ　!　,.ゝ　　∠
　　　　 　ﾉ　´　';　　ハ　　ゝ-' 　 　　　'!ﾉ!.!7 !　V　　　　　 ｀ヽ､.,________
　　　　,.イﾉ　　 ! 　　!ﾒ）''" 　　　　　,　 ｀'’ ! ﾊヽ（　　　　　　　 __________
　　　（,.イ　　　ﾉ　ノ（,ハ u　　 r- ､.,_　 　"',!ヽ（　｀　　　　,. '"´
　　 　 ）､　__/´￣7ｰ､! !,ゝ､　　､___ソ 　,.イ /i　'.,　　 ____/　　　 見
　　　　　rソ`ｧ'"´ ｀ヽ､_,）ﾝi＞ ,､.,_,,.. イ‐ｧ!ｿ!ハ ﾉ　　 ＼　　　　 た
　　　　　iヽ/　　　　　 ヽ,ﾍ）｀ヽ､_,.イ_i7　iﾒ）7´（　　　 　 |　　　　事
　　　　　Y 　 ,'　　　 　　}＞Yく{_/ﾑ_」';ヽ（X!ヽ.　　　　　 |　　　　無
　　　　　/agic　　　 　 　V´ﾊ:::/　ハ　i:::}＞く{　　　 　　 !　　　　い
　　　　ノ　　　　　　　　　';:::::::く__/__」┘::ヽ.ヽ.　　 　 　　 !　　　　く
　　　くr-､,_　　　　　!　　,ゝ::::::::::::::::';::::::::::::::':, ':,　　　　　 |　　　　せ
　　 　 '/　 ｀"'ｰｧ､,」_,.イ::､:::::::::::::::::/i::::::::::::::::i　 ',　　　　 ',　 　　 に
　　　 /　_,,...,,_/´ ヽ;ヽノ:::::｀:::::::::::::::::::::::::::::;:ｲ　 ,ゝ　　　　 ヽ､.,___________
　　　i　　　　　｀"''ｰ'- ､;::::::::::::::::::::::::::::::::::::::!-‐i
　　　ヽ､.,_　　____　　　　｀ヽ;:::::::::::::::::::::::::::::::',　 ',
　　　　　　￣r‐'",ゝ　,　　　i＞,､:;____」;;:: -‐ﾍ　 ヽ､

Hence S breaks up into uncountably many orbits under G. Using the axiom of choice, we could pick a single point from each orbit, obtaining an uncountable subset X of S with the property that all of its translates by G are disjoint from X. The set of those translates partitions the circle into a countable collection of disjoint sets, which are all pairwise congruent.

For example, if one defines categories in terms of sets, that is, as sets of objects and morphisms (usually called a small category), or even locally small categories, whose hom-objects are sets, then there is no category of all sets, and so it is difficult for a category-theoretic formulation to apply to all sets.

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_ﾄ、人＿
　　　　　　　　　　 　 ,,.. -──- ､..,,＿,,ノ）　 ⌒ヽ （
　　　　　 　（ゝｰｧ'"´ 　　 ＿＿　　　　 ＜　　　　ﾉ ,＞
　　　　　　　 ）'　　　,　'"´￣￣￣ ヽ(´`ｰくヽ　　Y´　　○
　　　　　　 '7　　/／　 　 / 　 |　　,!　＼／｀ﾒ＞
　　。　　　/　　/ 　　 !　/__｀メ. 　/|　/　 |　ﾊ ＼　　　 だ打ﾀﾞd 駄目ですよっ！！
　　　　 ∠、 ,.ｲ 　 　/.ｧ'´ ,.-､|／　ﾄ/_ﾊ/　　,!__,ﾉ
　　　＿　.／　|　　　|人　 !_,ﾘ´　　　ｒt Y　　八　　o　　お姉ちゃんは
　, -─　/|　 八 　 人///　　　　　, り 人イ　 ,＞　　　 そういうの認めませんッ！1
　`'ｰ─ |八　 　 ' ､.＿＞　　 ,. ‐‐-､　//|,.ゝ /　 　- ､
　　　　 '⌒ﾊ　　　 |　｀ヽ.u　/　　 ヽ!　　,ﾊ ＼! 　 ＿,ノ　ﾉ
　　　　　＼ |　　　ﾉ＼　,ﾊ.　､＿__ノ　／　 ＼　　　　-‐'
　　　　　　　∨ヽ（　 .ﾉ＼ |｀ ｰ-rｧ＜|＿　 ﾉヽ）
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　　　　'､ .／ 　 /7 /　／‐v‐ヽ.　/ r'7　　 　 /　／/　/ /＼ 　）
　　　　／　　　 },」__／（　　 _ノ＼_r'　! 　 ,.-/し'ｧ､_!　|　|　rﾊ ´
　　 /´　-､　 　/　　　　 Y´ 　＼　　 | ／ 　し'i´::::::ゝﾍ-'´/　}
　 ./　'"´￣＼/　　　　 rｿ　　　　` ｰﾒ、　.／} |::::::::::::`':ｰ/ rﾍ.　
／ 　　　　／/　　　　　(ｿ　　　　　　 |　　/　{-|:::::::::::::::::/ r'　 |ヽ.

"The axiom gets its name not because mathematicians prefer it to other axioms." — A. K. Dewdney

A natural transformation is a relation between two functors. Functors often describe "natural constructions" and natural transformations then describe "natural homomorphisms" between two such constructions. Sometimes two quite different constructions yield "the same" result; this is expressed by a natural isomorphism between the two functors.

　　　　　　　　_
　　　　　　　r,)へ　_,.-─-､　_へ_
　　　　　　r/　　　＼;;;;;'ﾆニｲ___7(､_
　　　　　　)i　　 　 ゝ'":::::::::::::::::::::::::::ヽ､
　　　　　/rｲ ｀γ´:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::';,
　　　　/:::ゝﾍ､,'::::::::/:::i:::::::/i::::/:::/!:::::;::::::::i
　　　 /::::::iヽｲi:::::::ｲ::::ﾊ::/ｰ/-i:::/ |:::::!:;:i:::::i
　　　,'::::::i:く_ﾊ|::::::::ﾚ´::ｲ!ｲテ'ﾄ,/　 !::/-i::i:::i
　　　!:::::ﾊ:::!::::i:::::/（_[ヨ.' ﾋ'__,! 　　'ｨ'i'i /::i;;i
　　 .|:::/　i:::!:::i:::::l::::|::l::i. ""　　　､└'iﾖ､|V
　 　 ヽ!　ﾉ:::i:::ﾊ,ｨ_;;;|:|:::ﾄ,　 　rｰｧ　"人|　
　　　ﾉ)　ゝ､:!／⌒ヽ',:::',.i.ヽ､ __ ,..イ|:::|　 ,.ﾍ
　 　(!　　,.へ'､　　　　ﾍ:::!.､__ｎ/ >､|::|:!／　ﾉ)､　　　
　　　　／ヽ　 ＼,.ｨ､　i V 　ハｲ ﾄ,ﾚ／i　　Y　i
　　　/　　　ヽ　　.>ｰ/　 ,.ｲ　ﾊ　i／ヽへ ノ) ﾉ)
　　./　　　　　_,.ｲﾆｲ 　く､__,.__／ i　/ / ( (｀ｰ'--､
　 〈　　　 ´￣｀＼ﾝ､ 　/ 　.／__〉 ﾄ/　　 ﾝヽ､　 l i─ｰ､
　　 ',　　　　　/ ／｀ｰ､_ ／　 　　 iヽ､ ノ)　( (　　l　-､───┐
　　　i　　　　 l /　 ､ヽ､）,´ 　__,...イヽ､(ｲ｀ｰ-)ﾉ___」─'.___________|

An automorphism is a morphism that is both an endomorphism and an isomorphism.

F transforms each commutative diagram in C into a commutative diagram in D;

　　　　　　　　　　　 __,.-､_,.-‐ｧ
　　　　　　　　　 ＜イ7__」ｲ二フ
　　　　　　　 ,. ‐'"´￣:::::::￣｀''ｰ ､
　　　　　　 /:::::::::::;:ﾆ二ニﾆ=- ､::::｀ヽ.　　　 i
　　　　┼ r!,. -'"　　　　　　　　 ｀'ｰ､ !　__ _人___
　　　　　　/　 /　/.i　ﾊ　ﾊ_ヽ_｀ヽ.ヽ.Y　　 ｀Y´
　　 i　　 　i i　!/‐!-|/　|/ｫ=-!;ﾊ　! ', !. 　 　 !
_ __人 ___　レ!ﾍ/ｧ!-､　　 'i__rﾊ ﾚ' Yi-'─ｧ
　 ｀Y´　　_,,.!-!ﾊ !ﾊﾘ ,　　　 " / 　|-‐'i'"　　 __,.-ｧ
　　 !　　　｀ｰ/　!,"　　､--ｧ　 i　/ ! 　　!　／/　7
　　　　　　　 !　/＞.､._　　_,.イﾚ' ,!- ､へ!/　/二ﾌ
　　　　　　　 ﾚ'ヽへ/_,.!二7 -‐'7´　　ヽ､)イ__ノ
　　　 _,. -─- ､,. "7 !_/ムヽ､__」　　　　_!ﾝ _(
　　　ヽ､二ﾆ=/ 　/::::::}><{:::::::::::::!､_,.-''"ヽ.／
　　　　 ゝ､二ヽ,__!::::::/:::::::::::::::::::::ハ　　　 ヽ.　　　 　i
　　　┼　　'ｰ/　 }><{::::::::::::::::::::ｲ--ﾍ　　　　',　　___人__ _
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　　　　　　　!　　　　　 l |　_､ン::::ヽ. 　 i､,.-=ﾆ!　　 　!
　　　　　　　｀'ｰ,r──'-'´::::::::／､:::ヽ､ !_i　　 !
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