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　　|:::::,'　　　 　 　 |::::|lll|.!　 |}　 　 !. !　| {二　| |
　　|:::::i　　　　　 　.|::::|lll||. ll |{　　 ﾊ |　| ヽこノ/

:　: : ::　::　:: :::::: :　::　:: ,.-ｧ'" フ　:　　:　　　|　 何
:: ::: ::::: :: ::: :: :: :: :: :::／／　／ : : ::　　　　　|　 故
::::: ::::::::::: :::::: :::::::::: / r'　r'"::: ::::: :: ::　_,,..-､ヽ､_____
:::::::::::::: ::::: :::::::: ::::::|　i　/ :::::: :,. -''"´　　　､ヽ.
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　そ　 　i　i　　/:::|:::::::::::';i !:!､_,!､_
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In mathematics, cardinal numbers, or cardinals for short, are a generalization of the natural numbers used to measure the cardinality (size) of sets. The cardinality of a finite set is a natural number – the number of elements in the set. The transfinite cardinal numbers describe the sizes of infinite sets.

Exponentiation is non-decreasing in both arguments:

Leopold Kronecker was skeptical of the notion of infinity and how his fellow mathematicians were using it in 1870s and 1880s. This skepticism was developed in the philosophy of mathematics called finitism, an extreme form of the philosophical and mathematical schools of constructivism and intuitionism. Typical dumb goy.

 In modern set theory, it is common to restrict attention to the von Neumann universe of pure sets, and many systems of axiomatic set theory are designed to axiomatize the pure sets only.

A class that is not a set (informally in Zermelo–Fraenkel) is called a proper class, and a class that is a set is sometimes called a small class. For instance, the class of all ordinal numbers, and the class of all sets, are proper classes in many formal systems.

The difficulty appears when there is no natural choice of elements from each set. If we cannot make explicit choices, how do we know that our set exists? For example, suppose that X is the set of all non-empty subsets of the real numbers.

Tychonoff's theorem stating that every product of compact topological spaces is compact.

>>13
how to prove how to prove. Suppose A and B are compact how to show that A * B is compact

A is compact iff every open cover admits a finite subcover

want to show that every open cover of A * B admits a finite sub cover

Let O be some open cover of A * B. we want to find a finite sub cover for O

Each element of the open cover O is an open set of A * B

The open sets of A * B are of the formed by unions of products of open sets in A and B

can the unions be infinite? I don't remember. I think so.

So each element o in O is an open set of A * B, and formed by an arbitrary union of base open sets, C*D where C and D are open in A and B respectively.

Create a new open cover P, that is formed by the elements of O where each o is replaced by the arbitrary union used to form it from the base elements.

So P is an open cover for A * B, where each element is of the form C*D where C and D are open in A and B respectively.

So P is an open cover for A * B, where each element is of the form C*D where C and D are open in A and B respectively.

Now consider this.....

\union C_i * D_i = \union C_i * \union D_i

wait that's wrong

i guess i'm not very good at this after all

Consider the projection of the open cover P, down to A and B.

let a be some arbitrary element of A, and b some arbitrary element of B

Intersect P with a and b. Call them Pa and Pb

Each Pa is an open cover of A. And each Pb is an open cover of B.

Since A and B are compact, each Pa and Pb has a finite subcover

Let the finite subcovers be Fa and Fb.

Except, let Fa and Fb have the original elements of P, that were projected onto (a,_) and (_,b).

"The Axiom of Choice is necessary to select a set from an infinite number of socks, but not an infinite number of shoes." — Bertrand Russell

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　ｒ‐ｧこ7/,ｲ:::::i:::/}＞ｒｧ─-|/::/:::::::::::::::::::::ハ　/　,'　 ./|　 |
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Functors are structure-preserving maps between categories. They can be thought of as morphisms in the category of all (small) categories.

A bimorphism is a morphism that is both an epimorphism and a monomorphism.

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　　　　　　　　　 __,,,,....,,,＿ 　　 _　　　　　　　　　　　 　 　 /　 い　別
　　　　,.ﾍ.__''"´　　､　　 　.ﾄ｀＞）｀ヽ　　　　　　　　　　　　|　　い　に
　　　く 　 ＼|-─＜￣￣八　ｰ' 　 ﾉ､ /＼　　 　　 　 　 　! 　 の
　　　 |＼__./＞-─''"´￣￣｀' ｰ＜　,ﾊ ／]　　 　＿＿＿_|　　よ
　　__ﾉ-‐へ/　/　 /|__　.!　 ,　 　　 ＼|‐ｧ'　　.／　　　　　 ＼＿＿＿_／
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　　　|　　　|　.!/|､弋_,ﾘ　　 　|_lj　|/　 ,'　　 |.　 だ.　ま　 っ
　　　|　　　|　 ⊂⊃　　　　 '　　⊂!__/　　＜ 　 か　で　 と
　　　|　　　|　 　 |　 　　∠ ] 　　,ﾊ ||　　 　 | 　 ら　寄
　　　|　　　|　 　 ト ､., 　＿_,,.. イ　! !!.　　　 |　　　 　っ
　　　|　　　| 　　 |ヽ-､＼_|｀ヽ、|　　||　　　　',　　 　 た
　　　| 　　∧　　 !7＼__/ﾑ 　 /| 　 ,'|　　　　 ＼＿＿＿＿／
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　　　',　| .,' [＞l]く]ﾊ　　}| ll |{ [＞l]く]
　　　 ヽ| .!　　＼」 | 　　{|　 |}　 | ﾊヽ!
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　　|:::::i　　　　　 　.|::::|lll||. ll |{　　 ﾊ |　| ヽこノ/

His continuum hypothesis is the proposition that ???? is the same as ℵ₁. This hypothesis has been found to be independent of the standard axioms of mathematical set theory; it can neither be proved nor disproved from the standard assumptions.