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　ﾍ N忝ﾐｿ入〉.ゝ '^´ヽ、弋′'_　彳' y'　/ 　 ヽ.ヽ／　　　　　 ⌒ヽ　仆ﾐ¨＾, ^タ〃i,ﾊ,小 ,ﾊハ }　　《ﾉ{f扎し!ノ,　トヽﾉ介~_W'ﾘVﾑ-‐
　込｣_辷_',.ｨ/　 　 　 　 ヽ ｀ｿーケｰ' ￣｀丶、､ }１　〃,　 ヽヽ　｀Ｖヽ仏>､_`.ィ勿1ﾍ└', ﾍぅヽ}ﾉ/_,.ム┴ '-＾Zノ}ﾉ ／￣￣`'く/´, ,
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　 ヽ、}}> }J , Ｎxｔﾁ` , ＾´从ﾊ {　{　lｲ 小 仏ｨ〉j= ｸﾍ{トﾐ´　 _',　ｽﾊ,ハ{　 {.ィ　 /} {　￤､ i　　！K{ 扞}ノ!厶 i　}jﾊ卞＾!/ｔﾖﾉ ﾊﾍﾆ´
　_ヽﾊｆ'ソ从{ トミ≧　 ､ /Ｖ　　ヽ ! 托ﾃ jﾉ,｀ﾌﾊ｢　　 ヽヾト-- ｲ＜ﾊｧ } ｀Yノ{イﾆﾐ,ﾊ　ﾊ }ﾊ }　 }　;ヽ´ ､　└']　川Ｎ､-_,∠ｨ1
　'＾　,.　/ハ! '仏⊥｀ﾌﾆ′ ￣｀ヽヽ`ｰｚ　ｒｧ ,ﾙｰ-､ /／　 ＿,.ム-┘ｰ-　j>ﾍトﾐ`^　} たﾇ jﾉ ﾉ,ﾊﾊ-{　・　_,.ノ|ｲ/リ　　　｀＾Vｰ-‐'
　`ー- ′ . ‐'　 　 　 ｀廴_　　 　 Vヘｱ¨ ７′　　 V　 　 ／　　　　 　 　 ヽ}vﾍ.　'、　-‐彡 イ,厶斗`ｰ １ﾌﾉ从廴_　　 ｒ'´丿 ／
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　 　 ヽ　Ｎ ∨Vｒjﾌ　 、 ﾉ}ﾘ　　　　　　　　｀　'ｰ-い　！ ,ハﾘ厶 ！ ﾑjヒ｣ヽ.　ヽヽ　　　　　　i　　　　　　} ／　/ , 　 　 ｉ　　　 Ⅵ
　-‐v‐-､！ ヽミ_=- ｒｧ 〃　　 　 　 　 　 ､　ﾆ＝‐ 〉　∨{ /(で入ﾊﾉ ^ｰ'＾ｼﾍ ハﾉ　　　　　 ├'＾ヽ.　　ノ!　 , ｲ / /〃　}　　　　{
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　ﾊ._,ﾊ,ハ ／　　　　　　　　　 ＼ｰ-z　　ｒ1 /V　　 〈///　　　　 -､ゝ-　 -一　{,.イ /　/ 〃 /　}　 /　　　　　ﾄ`コ　´／}ｲ ,ﾊ　j　　`－-
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　ﾆ、　|'/|　　 ,' i　 ﾊ　ﾄ､ ヽ fﾁ' ﾄ､ト-　　　　　　　 }！//ヽ　 ゝ--､人　　 /　　 Ｚ小/}ﾍ ｀。 　 -‐ﾆ´ j/{ｨ′　 ヽ. 　 _j　　 〈　_}ゝ-‐
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　　ハ　＼'＾Ｖﾊ /＼辷'＾　　 ',ﾊ厂ヽ＼___／　　 　 ／　´/　　　　　　　　 ヽ　////{ ヽ　　　　　　厶ｲノ ｀丶.　 ﾉゝ' 　 　 ｉ　￤
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Many mathematical concepts can be defined precisely using only set theoretic concepts. For example, mathematical structures as diverse as graphs, manifolds, rings, and vector spaces can all be defined as sets satisfying various (axiomatic) properties.

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 The axiom of choice was formulated in 1904 by Ernst Zermelo in order to formalize his proof of the well-ordering theorem.

The restriction to ZF renders any claim that relies on either the axiom of choice or its negation unprovable. For example, the Banach–Tarski paradox is neither provable nor disprovable from ZF alone: it is impossible to construct the required decomposition of the unit ball in ZF, but also impossible to prove there is no such decomposition.

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Every infinite game G_S in which S is a Borel subset of Baire space is determined.

A group homomorphism between two groups "preserves the group structure" in a precise sense – it is a "process" taking one group to another, in a way that carries along information about the structure of the first group into the second group. The study of group homomorphisms then provides a tool for studying general properties of groups and consequences of the group axioms.

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　　　　　,.ｲ´　　　　 _,.ゝ- ''"´　　　　　　　　　　　ヽ､!　　　　　!､Ξ 　ゝ､～'ン 　Ξ!　　。
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　ノ';.:.:.:.:.:.,.-:､!:.:.:.:.:! ｧ'´　 ,-､ヽﾚ'　i__/ ,_」_｀ヽ!:.:.:.:.:.:.i:.:.::!.　　　,'　 CUCUMBER 　 ',
,:':.:ノ!:.:.:.:.;':.:.:.:.ﾄ-r┤i 　　 ! r!　::::::::::::: ´,-､ヽ.,!:.:.:.:.:;'!:__」　　　,' _ｱｲｽｷｭｰｶﾝﾊﾞｰ三.',
,.:':.:.,':.:.:.:.:!:.:.:ﾉ.:.:.:.!:.i ヽ､_　`'´ 　　　　　!り　,!7ヽ､_/､:.:.:.）　　 iΞo三三三三三三Ξ!
:.:.ノ:.:.:.:.:.:;.ｲ:.:.:.:.⊂⊃　　　 　　　　　 '　｀　 ' !:.:.:ヽ,　）ノ　　　|　∩　　　　　　:::: ::　　!
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!:.:.:;.:'´）ﾍ.:.:.:':､:.:';:.ヽ､　u 　/ 　 　　 ヽ! 　　,.ｲイ:.:.:.:）ヽ､_,ノ　',　　､　　　　　　　/　 ,'　＊
'ﾚ'　　,.へく>>　＞､:.:.;ゝ.､, !､.,_______,ノ ,,. イ.:.:Y:.:.:ｲ　　　* 　　 ',　ヽゝ､:::::::::::::::::く　 /
　　／,.へ ＼　　　）'　,イ ｀＞ ｰ-='i"´ン^iン^ヽノ　　　　　　　 `'ｰ'￣`ー─'￣`ｰ'
　く／_,,.　.>　> l二二｀i [][]　 　 　 ﾚ｀ヽ､.,_）　　　　　__人__　 駆　け　巡　る　戦　慄
　 ,. '´ .／／　　　 　|. |　 `r─┐[]]　　　｀i7､.　　　　 ｀Y´
／　 　｀'´ !ﾍ.　 l二二..! ／,二i. |　l　　　　 !/ヽ. l二二二｀i [][]
￣｀ヽ. 　　ヽﾍ　 　　 ／､,└─┘　ゴ ヽ､ !」 　 ':,　　　　| |　　　　l二二二｀i [][]
X‐-､ｿ　　　y｀ヽ>ｰ'´　　 ヽ　　 ,.ｲ　　 　Y　　　 'ヽ.,　___| |　　　　　　　　 | |

Many of the above concepts, especially equivalence of categories, adjoint functor pairs, and functor categories, can be situated into the context of higher-dimensional categories. Briefly, if we consider a morphism between two objects as a "process taking us from one object to another", then higher-dimensional categories allow us to profitably generalize this by considering "higher-dimensional processes".

　　　　　　　 rーｒ、 　 　 /￣ﾊ
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　　 ＼＼___人. 　 ヾ､_　 ´／ _,..＞r'|:/／
　　　　` ｰﾆ二＼　 　 ￣￣´　　 /::/|￣｀ヽ、
　　　　　 　　　rﾊ ＞ー--r‐ｒ＜´|__|,7ー､___,＞
　　　　　　　 ./:::::＼ 　 　 |＼＼/､ ｒ'し'､,ﾊ
　　　　　　　〈:::::::::::::＼＿_|:::::::';';:ﾊ〉｀ヽ.（　|　　　.|￣|
　　　 l二ニﾆヽ;:::::_ｒ'´＼::､:::::::::|:|::|、 /｀ヽ7　　　/::::/
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　　　　　　　`ｰ-へ二二二ヽ;::::::::::::::/／　
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　　　　　　　　　 ﾄ､_二]
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F(g \circ f) = F(g) \circ F(f) for all morphisms f:X ightarrow Y\,\! and g:Yightarrow Z.\,\!

Statements such as