sicp exercise 13

sicp's exercise no. 13
what do i need to solve this? can i do it with mathematical induction?
i saw that last semester, but didn't quite get it. i'll review it if it's necessary.

φ = (1 + √5) / 2
ψ = (1 - √5) / 2

φ · φ = ((1 + √5) / 2) · ((1 + √5) / 2)
      = ((1 + √5) · (1 + √5)) / (2 · 2)
      = (1 · 1 + √5 · √5 + 1 · √5 + √5 · 1) / 4
      = (1 + 5 + 2 · √5) / 4
      = (2 + 2 · √5) / 4 + 4 / 4
      = (1 + √5) / 2 + 1
      = φ + 1

ψ · ψ = ((1 - √5) / 2) · ((1 - √5) / 2)
      = ((1 - √5) · (1 - √5)) / (2 · 2)
      = (1 · 1 + -√5 · -√5 + 1 · -√5 + -√5 · 1) / 4
      = (1 + 5 + -2 · √5) / 4
      = (2 + -2 · √5) / 4 + 4 / 4
      = (1 - √5) / 2 + 1
      = ψ + 1

Fib(0) = (φ⁰ - ψ⁰) / √5
       = 0

Fib(1) = (φ¹ - ψ¹) / √5
       = (((1 + √5) / 2) - ((1 - √5) / 2)) / √5
       = ((1 + √5) - (1 - √5)) / (2 · √5)
       = (2 · √5) / (2 · √5)
       = 1

Fib(n+2) = Fib(n) + Fib(n+1)
         = (φⁿ - ψⁿ) / √5 + (φⁿ⁺¹ - ψⁿ⁺¹) / √5
         = (φⁿ - ψⁿ + φⁿ⁺¹ - ψⁿ⁺¹) / √5
         = (φⁿ - ψⁿ + φⁿ · φ - ψⁿ · ψ) / √5
         = (φⁿ · (φ + 1) - ψⁿ · (ψ + 1)) / √5
         = (φⁿ · φ · φ - ψⁿ · ψ · ψ) / √5
         = (φⁿ⁺² - ψⁿ⁺²) / √5

|Fib(n) - (φⁿ / √5)| = |ψⁿ / √5|

|ψⁿ / √5| < ½

|Fib(n) - (φⁿ / √5)| < ½

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