/prog/ - Spring cleaning day #7

Name: Anonymous 2007-01-08 7:20

Spring cleaning day #7

Name: Anonymous 2013-09-01 0:06

Every unital ring other than the trivial ring contains a maximal ideal.

Name: Anonymous 2013-09-01 0:07

　　　　　 ∧/|　　∧､
　　　　|ヽ!､ゝ,.ｒ'ニ､ﾝi
　　　　ゝ／　/　　＼
　　　　_L...- '-───'-- ..,,_
　　 ,.へ　ヽ -　L ＝」 -　　/
　〈　　,.ゝ --─ri⌒ヽr--..,ｲ
。　 γ´ ,'" _/__,.i　　 l |､!_i　ﾄ､　ﾟ
　　　i　 ,'.　/ ,.-'､.ヽｲﾉ,.-､i /　i
　.o　|　レｲ.( （_）　　() )ｲﾊﾉ　　o
　　 .|.　(| | |〃　　 ___　〃l |.|　。
　　 |　 /i | lゝ､　 (　　) ,.ｲl.|.|
　　 |　ﾊ_l |.,-!｀i ｰ-=.i´､i　| |　　　　Ｏ
Ｏ　i　ｲ_( ヽ.!　|　ヽ､iｲﾝ !／'),-､
　　|　iヽ､｀'_,..-｀つﾊヽ / つ _ゝ)　) ）
　　',　i(__,. - ''Ｔ´ＶＹV (ゝ､_,..､_)
　　 ', ﾊ｀.ｰi´ 　 (/　 i_) ｀iｰi´|
　　　V ヽ,.ｲ/ゝ､ __,.__,.__,.ｲヽﾝ
　　　　／ /　/　　　　　ヽ＼

Name: Anonymous 2013-09-01 0:13

　　　　　　　　　　　　ﾄ､　　　　　、
　　　　　　　＜￣｀" ､|　ﾊ　　　 /|　/|
　　　　　　　　　 __＼　　| ア（_）､／／ /
　　　　　　　 , '´　　｀ヽ／::/::::::::::＼　＜、
　　　　　　　´￣￣｀ヽｒ'＼/＿＿＿_ﾑｒ‐-ヽ
　　　　　　　　　,.　'"´ ＼::|/ｧ::ｒ＿::::ｒ::ﾄ　、
　　　　　　／　／　　　　／:.:｀':.､-‐' 　　ヽ,
　　　　　　 /　 ./　　／　/.:.:.:.:.:.:.:.:.|　、　　　':,
　　　　　　;' 　 '　　 /　 /l|:.:.:.:.:.:.:.:.:,'| 　 ',　　　 ',
　　　　　 | 　; 　　/ ｀７_∧:.:.:.:.:.:|/ |　|　| 　 | 　 !
　　　　　 | ./　　/!ｨ'´んﾊ＼:.:.:.|　」_ナｌ| 　 | 　 !　　　　心配するな
　　　　　／　／|lﾍ弋_り　　＼| ｨl7ﾊヽ|l 　| 　 |
　　　　∠ ,　イ|:.:.:.:|"ﾞ　　　　　弋zｿ.ﾉ|l　.| 　八　　　歴史上ではすでに実証済みだ
　　　　　　| 　|.|:.:.:.:| 　　　　'　　　　ﾞ"ﾑ　 | /ｒ‐ ヽ
　　　　　　| 　|:|:.:.:.:|!､　　　､　 _　　　 ,:.:.|＼|　|
　　　　 ; 　.||:.:.:.:.| |＼　　　　　 ,.ｲ:.:.:!　　 !
　　　　　./　　|:.:.:.:.:!:|　 |ヽ、_,,.. .:＜|l |:.:.:.| 　　､
　　　　 / 　／|:.:.:.:.|:.! r'|　　　 |､」__」.:.:.:!-─- ､＼　　　　./｀!
　　　 ;　 /　 l|:.:.:.:.|イ　|　　　／　　/:.:.:./,　　　ヽヽ, 　　/　/
　　　 ;　;　　,.-､:.:.:|_|　|! 　／　ｒ／:;:イ/　　　　　 '､　',.　/　;'｀ｰ-､
　　　 |　l　/　　＼|7　|!／　ｒ/::／{ｒ/　　　　　　ハ　 7　｀つﾉﾉ）
　　　　'､ ∨　　ヽ/{r/ム　__,ノ｛/_,.ノ {　　　　　　　　 }' ; 　ノ _,ノ´
　　　／｀ヽ、,r／::::レム＼/ｒ‐':::::::::::::::ゝ､　　　　　　/ /　　　/
　　/ ､ヽ＼ }/:::::::::／/∧　＼::::::::::::::::::::::{r､アｒｰ､く] }/　　　/
　 ;　､ヽヽﾉ{:::::::;'　ﾑ　＼_」:::::::::::::::::::::/∧´　　　∨　　 ,' |
　 |　　ヽｲ/　'､:::{／:::::::＼　|:::::::::::::::::ﾉ::/　 ,ﾑ　　 /　　　 ;　;
　 |　　　|' 　　ヽ:::::::::::::::::::::::::::::‐::''"::::/ ／　 ', 　 ;　　　ﾊノ

Name: Anonymous 2013-09-01 0:52

In all models of ZF¬C, the generalized continuum hypothesis does not hold.

Name: Anonymous 2013-09-01 1:32

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_,,.. -─- ､.,_
　　　　　　　　　　　　　　　　　 .,　'´　　　　　　Y´ ﾟヽ。
　　　　　　　　　　　　　　　　／　　　　　　　　　　￣｀ヽ)ヽ、
　　　　　　　　　　　　　　　　/ 　　／./ 　　　! __ 　　　 ∨　　　　　　＿　／）＿_
　　　　　　　　　　　　　　　　 !　　 ,'　__!__.ﾊ.　 ,ﾊ_」、 ,ﾊ　 ,!　　　　　　/:::::::￣｀ヽ.-‐ﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　 !　　.i. ´/|_/__|／　 iﾊ`l　|]　/|　　　　／￣￣｀ヽ;:::!-‐'
　　　　　　　　　　　　　　　 ,' 　　|／|'7i´'ﾊ　　ゝ',,∨∨|/　　　／　　　　　|:::|
　　（｀　ｰ- ､‐-､＿　　　　 /　　　/ |_].､ゝ-' 　 __'　　,ﾊ,ﾊ」,. -‐''"´￣￣｀　　　 |:::|
　　 ,＞　、　ヽ::::＼｀　､／　　／ ∧　＼"　l´　ｿ／| |_ノ!　　　　　　　　　.|:::|
　／／ ,　 (　 ,ﾊ:::::ﾊ　　｀ﾞ''ｰ＜＿/_八　ﾊヽ--rく＼|（_ノﾄ、　　　　　　　　　　 /::;'
（,／／／, イ:::::|:::::::!　　　　　｀ヽ::＼＼　|＼__ﾄ､＼! |_ノ）ﾊ.＿＿＿＿　　　 /::/
　｀ｰ'´|￣::::::|::::::|:::::::|　　　　　　　　',::::|　ﾚ' 、　ﾊ　 Y。。ﾄ、　　｀ｰ-----'‐'´
　　　 ',::::::::::|::::::|:::::::|　　　　_＿　 |::::!　　　＼∧:ヽ∧_,ノ| ﾊ
　　　　 ',::::::::|::::::|:::::::|　　　　／|＼_,!:::ﾄ、　　　　';::',　　∨　 |
　　　　.|::::::::!::::/:::／＿,,.. イ　.∧　＼」ﾉ､　　　,|:::| 　ｲ　 /
　　　　　＼_」__／￣　∨　 |／　＼　＼｀ﾞ''　　 !:::! 　 .!／
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｀ｰ-〉　　　　|:::| 　 ,ﾄ、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,.イ＞､＿_」_」,.イ _,ﾊ、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／　｀＞-ー‐r'"´￣　　＼

Name: Anonymous 2013-09-01 1:37

f is a monomorphism and a retraction;

Name: Anonymous 2013-09-01 1:38

　　　　　　　　　　　　　　 __,,,.....,,,__
　　　　　　､,＿＿_,.　''"´　　　　　｀''ro､
　　　　　　＼　'´ 　　/　　　　　　　｀ヽ_o､　　　　　　　 ,　'"´￣￣｀ヽ
　　　　　　　／　　　 ,|　　 /_.|_　 ',　 Y 　 ':,　　　　　　/　　こ　で
　　　　イ　/　　/__ /| 　　,'　 | 　ﾊ　 | 　　 ',. 　　　 |　　の　も
　　　　 '　.|　　 |　/ _'､　 | ｧ'ﾃてﾊ.|＿|.　　 |　　　　　|　　風　少
　　　　　| 　、　|ｧ'l´ﾊ' ＼|　 j___ｒｿ'{￣ﾄ、　 |　　　＜.　　：　　し
　　　　　､ヽ　ヽﾊ　ｊ_り　　　　　"" |￣|ﾘ　|　|　　　　　|　　泣　：
　　　　　　＼|＼/|"　　 '　　　　　　（＼.!. 　|　|　　　　　|　　い　　：
　　　　　　 , -‐ つ|　　　ｒ‐-､　　　ﾊ､._）　 |　、　　　 |　　て　　：
　　　　　./　 r'//,ﾄ,､　　 `　┘　 ,ｲ||＼|　　、　＼　　　|　　ま
　　　　　/　　）ﾚ´}.|/＞､,__,. イ　|（＼」　　ﾊ　　ヽ　　､　す
　　　　_{　　　, イ |　 / __.」　／/ ヽﾉヽ‐ｧ-､　　　 ', 　　､,＿＿＿.ノ
　　　/´ ヽ--＜ヽ|　|ｒ7´　　| ／　/　/}　//　　ヽ　　|
　　 ∧　　＼＿_/|　|/　／「l＼　|／ヽ/,'　　　 ∨ ./
　 ./　＼　　　_/ﾚ/| ／　// 　＼（・・ﾉ |ｒ、　＿」､_
　 .!　　　￣￣/＼／　 //　　　｀Y ｒ'― ''"´ 　　　|
　/|　　　　　 '|ヽ/ 　　 | |　　　　　　 |＿＿_,,... -- ､|
　!　　　　　　　 '､　　　 '､_　　　　.ノﾊ　　　　　　　、　　　
　＼　　　　　　 /l 　ｰ' ´|「｀　　　　　 ∧　　　　　　　＼

Name: Anonymous 2013-09-01 2:22

The morphism f has a right-inverse if there is a morphism g : Y → X such that f ∘ g = idY. The right inverse g is also called a section of f. Morphisms having a right inverse are always epimorphisms, but the converse is not always true in every category, as an epimorphism may fail to have a right inverse.

Name: Anonymous 2013-09-01 2:57

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:: :　　_!7r'￣ア´ /　　ﾊ. / _/ /i　　　　!　　|_/　　　　　　/|
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　　く｀Y´　／ ,'　　 / ｲ┘l i　｀ﾚ' /|_/　i　,'」　　　　「＞r'､___
　　ヽ._!　/ 　 !　　,ﾊ　ゝｰ-'　　　 ,rj/　,ﾊ/ ___,,,.... --─ｧへン
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　,'　　　　　/ 　/_!__!　|､, `''ｧr-rｲノ| ｲ ::::／
　i　　　| ./, '"´:::::::!ﾍ,.ｲ＞ｧｰ-r'7､,|r'ﾝく7　　
,ハ　　　!ｲ::::::::::::::::::::r'ンiヽ､／ﾑ_」ヽｰﾚ'､　　
　〈　　 ./::::::::::::::::::::::ﾍ/!/ﾄ､,_〈_ハ〉:::ヽ;::::::':,
　ﾉ` 　i:::::::､:::::::i:::::::;:ｲ/::i::::::::::::::`'::::::::::::Y::::〉､
'Y 　ヽﾊ;::::::__ｧ-'‐ヽ､ｲ::::::::::::::::::::::;:::::::::::;ﾊ:::rり

Name: Anonymous 2013-09-01 3:03

　　　　　　　＿　　　　　　　／￣7ヽ
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　　　く/　　　 /　　　　　/　　ヽヽ､,ﾄ､/
　　　 [_i　　 i　 | __./|　／|_..二､|　/　∨
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　　　　　　 ∨./ !"　　　　__,. 　 ",|　!　　＼
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　　　　 /　/〈ア´￣`∨　 `'ｙiヽ/　/|　 ,ﾊ　　〉
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　＿,|／|　　ゝ! __∨　　 |:::::Y::ﾊ::〉::::〉　　　ハ
　 }_ﾝ[lく]ﾍ　rｧ'`ヽ! 　　/::::::::::ﾚｲ｀∨　　 / 　｀ヽ.　
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　　　　　　　　ﾄｰ-! 　　　ﾄ‐‐|
　　　　　　　　　`ー'　　　　`ー'

Name: Anonymous 2013-09-01 3:08

Tensor products: If C denotes the category of vector spaces over a fixed field, with linear maps as morphisms, then the tensor product V \otimes W defines a functor C × C → C which is covariant in both arguments.

Name: Anonymous 2013-09-01 10:38

Assuming the axiom of choice, addition of infinite cardinal numbers is easy. If either κ or μ is infinite, then

κ + μ = max(κ, μ)

Name: Anonymous 2013-09-01 11:24

\sum_{i=0}^{\infty} \, f(i) = a means that the sum of the infinite series converges to some real value a.

Name: Anonymous 2013-09-01 13:41

Cantor also developed a large portion of the general theory of cardinal numbers; he proved that there is a smallest transfinite cardinal number (ℵ₀, aleph-null) and that for every cardinal number, there is a next-larger cardinal

(ℵ₁, ℵ₂, ℵ₃...)

Name: Anonymous 2013-09-01 15:59

Zermelo set theory, which replaces the axiom schema of replacement with that of separation;

Spring cleaning day #7

1 Name: Anonymous 2007-01-08 7:20

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51 Name: Anonymous 2013-09-01 3:08

52 Name: Anonymous 2013-09-01 10:38

53 Name: Anonymous 2013-09-01 11:24

54 Name: Anonymous 2013-09-01 13:41

55 Name: Anonymous 2013-09-01 15:59